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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 43

A doença de Cushing caracteriza-se pela fraqueza muscular devida à disfunção pituitária ou supra-renal. Para oferecer tratamento eficaz, é importante detectar a doença de Cushing na infância o quanto antes. A idade no início dos sintomas e a idade no diagnóstico de 15 crianças que sofrem da doença foram dadas no artigo "Treatment of Cushing's Disease in Childhood and Adolescence by Transphenoidal Microadenomectomy" (New Engl. J. of Med., 1984, p. 889). Aqui estão os valores das diferenças entre a idade no começo dos sintomas e a idade no diagnóstico:

-24 12 55 15 30 60 14 21 48 12 25 53 61 69 80

a. O gráfico de probabilidade normal a seguir deixa fortes dúvidas sobre a normalidade aproximada da distribuição de população de diferenças?

b. Calcule o limite de confiança de 95% inferior para a diferença média da população e interprete o limite resultante.

c. Suponha que as diferenças (idade no diagnóstico) – (idade no início) tenham sido calculadas. Qual seria um limite de confiança superior de 95% para a diferença média da população correspondente?

Passo 1

  1. Pode-se dizer que os dados seguem um padrão linear e, portanto, que os dados (diferenças) são da população normal
  2. O intervalo de confiança t pareado para μ D

    3. d - - t α 2 , n - 1 ∙ s D n ,   d - + t α 2 , n - 1 ∙ s D n

    Um limite de confiança unilateral pode ser obtido retendo o sinal relevante (+ ou −) e substituindo t α 2 , n - 1 por t α , n - 1

    O limite de confiança 95% inferior para a diferença média da população é

    d - - t α 2 , n - 1 ∙ s D n

    Passo 2

    A média amostral x - de observações é dada por x 1 ,   x 2 , … ,   x n é dado por

    x - = x 1 + x 2 + … + x n n = 1 n ∑ i = 1 n x i

    A média amostral d - para as diferenças é

    d - = 1 15 - 24 - 12 - … - 80 =   - 38.6

    A variância da amostra s² é

    s 2 = 1 n - 1 S x x

    Onde

    S x x =   ∑ x i - x - 2 =   ∑ x i 2 - 1 n ( ∑ x i ) ²

    O desvio padrão da amostra s é

    s =   1 n - 1 ∙ S x x

    A variação da amostra é

    S D 2 = 1 15 - 1 - 24 - - 38.6 2 + - 12 - - 38.6 2 + … + - 80 - - 38.6 2

    = 537.3124

    e o desvio padrão da amostra

    s D =   537.3124 = 23.18

    Passo 3

    O único valor que falta é

    t α 2 , n - 1 = t 0.05,14 = 1.761

    que foi calculado usando um software (você pode usar a tabela no apêndice do livro).

    O limite de confiança inferior de 95% é

    d - - t α , n - 1 ∙ s D n =   - 38.6 - 1.761 ∙ 23.18 15 = - 49.14

    Há 95% de confiança de que a verdadeira diferença média é maior que - 49 . 14 .

  3. Da mesma forma que em (b), o limite de confiança superior de 95% é

d - + t α , n - 1 ∙ s D n =   - 38.6 + 1.761 ∙ 23.18 15 = 49.14

Resposta

  1. Plausível;
  2. -49.14;
  3. 49.14.

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