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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 26

Dois gravadores diferentes,a plasma,em uma fubrica de semicondutores tem a mesma taxa media de gravacao,j.Entretanto,a maquina I e mais nova do que a maquina 2 e conseqiientemente tem menor variabilidade na taxa de gravacao.Sabemos que a variancia da laxa de gravacao para a maquina le oie para a maquina 2eo=aoi.Suponha que temos n,observacoes independentes para cada taxa de gravacao proveniente da maquina l e n,observacoes independentes para cada taxa de gravacao proveniente da maquina 2.

  1. Mostre que p-ox,+(1-a)X,eum estimador nao-tendencioso de p para qualquer valor de a entre Oe l.
  2. Encontre o crro-padraio da estimativa pontual de p no item(a).
  3. Que valor de o minimizaria o erro-padrao da estimativa pontual de p?
  4. Suponha quea=4em=2nQue valor de a voce selecionaria para minimizar o erro-padrao da estimativa pontual de p?Quao ruimseria escolher arbitrariamente a=0.5 nesse caso?

Passo 1

Letra a:

Vamos mostrar que μ ^ = α X _ 1 + ( 1 - α ) X _ 2 é um estimador imparcial de μ   para qualquer valor de α   entre zero e um.

μ ^ = α X - 1 + ( 1 - α ) X - 2 E ( μ ^ ) = E α X - 1 + 1 - α X - 2 = α E X - 1 + ( 1 - α ) E X - 2 = α μ + ( 1 - α ) μ = μ

Portanto, μ ^ = α X _ 1 + ( 1 - α ) X _ 2 é um estimador imparcial de μ   para qualquer valor de a entre zero e um.

Passo 2

Letra b:

Vamos encontrar o erro padrão da estimativa pontual de μ ^ = α X _ 1 + ( 1 - α ) X _ 2

S E ( μ ^ ) = V α X - 1 + 1 - α X - 2 = α 2 V X - 1 + ( 1 - α ) 2 V X - 2 = α 2 σ 1 2 n 1 + ( 1 - α ) 2 σ 2 2 n 2 = α 2 σ 1 2 n 1 + ( 1 - α ) 2 a σ 1 2 n 2 ∵ σ 2 2 = a σ 1 2 = σ 1 α 2 n 2 + ( 1 - α ) 2 a n 1 n 1 n 2

Passo 3

Letra c:

Vamos descobrir qual valor de α minimizaria o erro padrão da estimativa de μ . Em outros palavras ∂ ∂ α V ( μ ^ ) deve ser 0, e ∂ 2 ∂ α 2 V ( μ ^ ) > 0 .

∂ 2 ∂ α 2 V ( μ ^ ) = ∂ ∂ α α 2 σ 1 2 n 1 + ( 1 - α ) 2 a σ 1 2 n 2 = 2 α σ 1 2 n 1 + 2 ( 1 - α ) ( - 1 ) a σ 1 2 n 2 = 2 α σ 1 2 n 1 - 2 ( 1 - α ) a σ 1 2 n 2

∂ 2 ∂ α 2 V ( μ ^ ) = ∂ ∂ α ∂ ∂ α V μ ^ = ∂ ∂ α 2 α σ 1 2 n 1 - 2 1 - α a σ 1 2 n 2 = 2 σ 1 2 n 1 + 2 a σ 1 2 n 2 > 0

∂ ∂ α V ( μ ^ ) = 0 2 α σ 1 2 n 1 - 2 ( 1 - α ) a σ 1 2 n 2 = 0 α n 1 - 1 - α a n 2 = 0 α n 2 - ( 1 - α ) a n 1 n 1 n 2 = 0 α n 2 - a n 1 + a α n 1 = 0 α n 2 + a n 1 = a n 1 α = a n 1 n 2 + a n 1

Passo 4

Letra d:

Com a = 4 e n 1 = 2 n 2 , vamos descobrir qual valor de α devemos selecionar para minimizar o erro padrão da estimativa pontual de μ .

α = 4 2 n 2 n 2 + 4 2 n 2 = 8 n 2 9 n 2 = 8 9

Portanto, o erro padrão seria:

E P ( μ ^ ) = σ 1 8 9 2 n 2 + 1 9 2 8 n 2 2 n 2 2

= 0.667 σ 1 n 2

E se α for 0.05, o erro padrão seria:

S E ( μ ^ ) = σ 1 ( 0.5 ) 2 n 2 + ( 0.5 ) 2 8 n 2 2 n 2 2 = 1.0607 σ 1 n 2

Isso resultaria em um grande erro padrão.

Resposta

  1. μ ^ = α X - 1 + ( 1 - α ) X - 2 é um estimador imparcial de μ para qualquer valor de α entre zero e 1.
  2. σ 1 α 2 n 2 + ( 1 - α ) 2 a n 1 n 1 n 2
  3. α = a n 1 n 2 + a n 1
  4. α = 8 9

Isso resultaria em um grande erro padrão.

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