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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 55

Uma variavel aleatoria.x tem uma funcao densidade de probabili dade

Encontre o estimador de maxima verossimilhanca para 0.

Passo 1

A função de densidade de probabilidade da variável aleatória x é:

f ( x ) = 1 2 θ 3 x 2 e - x / θ , 0 < x < ∞ , 0 < θ < ∞

Vamos encontrar o estimador de máxima verossimilhança para θ .

L ( θ ) = 1 2 θ 3 x 1 2 e - x 1 θ ⋅ 1 2 θ 3 x 2 2 e - x 2 θ ⋯ 1 2 θ 3 x n 2 e - x n θ = 1 2 θ 3 n ∏ i = 1 n   x i 2 e x i θ

Passo 2

Aplicando log:

l o g ⁡ L ( θ ) = n l o g ⁡ 1 2 θ 3 + l o g ⁡ ∏ i = 1 n   x i 2 e x i θ = n l o g ⁡ 1 2 θ 3 + l o g ⁡ ∏ i = 1 n   x i 2 + l o g ⁡ e - ∑ i = 1 n   x i θ = n l o g ⁡ 1 2 θ 3 + l o g ⁡ ∏ i = 1 n   x i 2 - ∑ i = 1 n   x i θ

Passo 3

Diferenciando em relação a θ e igualando a zero, temos:

d l o g ⁡ L ( θ ) d θ = n 1 2 θ 3 - 3 2 θ - 4 + 0 + ∑ i = 1 n   x i θ 2 = - n 3 θ 3 θ 4 + ∑ i = 1 n   x i θ 2 = - 3 n θ + ∑ i = 1 n   x i θ 2 3 n θ = ∑ i = 1 n   x i θ 2 3 n = ∑ i = 1 n   x i θ Θ ^ = 1 3 n ∑ i = 1 n   x i Θ ^ = x - 3

Resposta

Θ ^ = x - 3

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