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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 92

8-92.Um artigo em Engineering Horicons(Primavera de 1990,p.26)

reportou que 117 de 484 novos recem pos-graduados em engenharia

estavam planejando continuar a estudar para obter um grau mais avan-

cado.Considere essa como uma amostra aleatoria da classe de pos-gra-

duados cm 1990.

（a)Encontre um intervalo de confianca de 90% para a proporcao de tais

graduados que planejam continuar sua educacao.

（b)Encontre um intervalo de confianca de 95e para a proporyao de tais

graduados que planejam continuar sua cducacao.

（e)Compare suas respostas dos itens(a)e(b)e explique por que elas

sao iguarsou diterentes.

（d)Voce poderia usar qualquer um dessesintervalos de confianca para

determinar se a proporcaoe realmente 0.25Explique sua resposta.

Sugestdo:use a aproximacao da binommal pela normal.

Passo 1

Se p ^ é a proporção de observações em uma amostra aleatória de tamanho n que pertence a uma classe de interesse, um valor aproximado 100 ( 1 - α ) % (intervalo de confiança de na proporção p   da população que pertence a esta classe é

p ^ - z α 2 p ^ 1 - p ^ n ≤ p ≤ p ^ + z α 2 p ^ 1 - p ^ n                               ( 1 )

onde z α 2 é o ponto percentual α 2 superior da distribuição normal padrão.

Esse procedimento depende da adequação da aproximação normal ao binomial. Para ser razoavelmente conservador, isso exige que n p e n ( 1 - p ) sejam maiores ou iguais a 5. Em situações em que essa aproximação é inadequada, principalmente nos casos em que n é pequeno, outros métodos devem ser usados.

A estimativa pontual da proporção da população p   é

p ^ = x n = 117 484 = 0.2417                                         ( 2 )

e

n p = 484 × 0.2417 = 117 > 5 n ( 1 - p ) = 484 × ( 1 - 0.2417 ) = 367 > 5

Passo 2

Letra a:

Para intervalo de confiança bilateral de 90%.

α 2 = 1 - 0.90 2 = 0.05

e

z α 2 = 1.65

Portanto, a partir das Equações (1) e (2), um IC bilateral de 90% sobre a proporção de tais graduados que planejam continuar seus estudos é

0.2417 - 1.65 0.2417 ( 1 - 0.2417 ) 484 ≤ p ≤ 0.2417 + 1.65 0.2417 ( 1 - 0.2417 ) 484

simplificando,

0.2096 ≤ p ≤ 0.2738

Passo 3

Letra b:

Para intervalo de confiança bilateral de 95%:

α 2 = 1 - 0.95 2 = 0.025

E

z a 2 = 1.96

Portanto, a partir das Equações (1) e (2), um IC bilateral de 95% sobre a proporção de tais graduados que planejam continuar seus estudos é:

0.2417 - 1.96 0.2417 ( 1 - 0.2417 ) 484 ≤ p ≤ 0.2417 + 1.96 0.2417 ( 1 - 0.2417 ) 484

simplificando,

0.20359 ≤ p ≤ 0.27988

Passo 4

Letra c:

Se compararmos as respostas nas partes a ) e b ) , então concluímos esse intervalo em parte b )   é mais longo do que o intervalo na parte a )   Pois.

z α 2 = 1.96 > 1.65 = z α 2

Passo 5

Letra d:

Sim, podemos usar qualquer um desses intervalos de confiança para determinar se a proporção é realmente 025, porque 0.25 ∈ ( 0.2096 ,   0.2738 ) e 0.25 ∈ ( 0.20359 ,   0.27988 ) .

Resposta

  1. 0.2096 ≤ p ≤ 0.2738
  2. 0.20359 ≤ p ≤ 0.27988
  3. Ver explicação
  4. Sim
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