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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 38

Uma empresa de fornecimento de materiais químicos atualmente possui em seu estoque 100 libras de um determinado produto, vendido aos clientes em lotes de 5 libras. Seja X = número de lotes pedidos por um cliente selecionado aleatoriamente e suponha que X tenha fmp

Calcule E(X) e V(X) e depois o número esperado de libras restantes, após o envio do pedido do próximo cliente, e a variância do número de libras restantes. (Sugestão: o número de libras restantes é uma função linear de X).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Recebemos a variável aleatória discreta X e sua pmf. Nota: X é o número de banhos encomendados por um cliente escolhido aleatoriamente.

O Valor Esperado (valor médio) de uma variável aleatória discreta X com conjunto de valores possíveis S e pmf p(x) é

E X =   μ X =   ∑ X   ϵ   S x ∙ p x

O seguinte é verdadeiro

Passo 2

E X =   ∑ x   ϵ   S x ∙ p x = 1 ∙ 0.2 + 2 ∙ 0.4 +   3 ∙ 0.3 + 4 ∙ 0.1 = 2.3

Proposição: O seguinte é verdadeiro

V X =   σ 2 = ∑ x   ϵ   S x 2 ∙ p x -   μ 2 = E X 2 - E X 2

Precisamos calcular E X 2 para usar a fórmula de atalho (proposição dada acima).

O Valor Esperado (valor médio) de qualquer função g(X), onde X é uma variável aleatória discreta X com um conjunto de valores possíveis S e pmf p(x)p(x), denotados como E [ g x ] ( μ g x ) é

E g X =   μ g x =   ∑ x   ϵ   S g x ∙ p x

Em nosso caso, g X = X ² ,

E X 2 =   ∑ x   ∈ S g x ∙ p x = 1 2 ∙ 0.2 + 2 2 ∙ . 4 + 3 2 ∙ 0.3 + 4 2 ∙ 0.1 =   . 1

Agora podemos usar a fórmula de atalho

V X = E X 2 - E X 2 = 6.1 - 2.3 2 = 0.81

Passo 3

Também somos solicitados a calcular o número esperado de libras restantes após o envio do pedido do próximo cliente e a variação do número de libras restantes. Dado que uma empresa tem 100 lb de um determinado produto químico em estoque, os clientes pedem em lotes de 5 lb, portanto, precisamos calcular o valor esperado e a variância do número de libras restantes, que é

100 - 5 X

porque de 100 que temos subtraímos os que o cliente comprou.

Proposição: O seguinte é verdadeiro

E a X + b = a ∙ E X + b

E 100 - 5 X = E - 5 X + 100 =   - 5 ∙ E X + 100 =   - 5 ∙ 2.3 + 100 = 88.5

O seguinte é verdade

V a X + b =   σ a X + b 2 = a 2 ∙ σ X 2

σ a X + b = a ∙ σ X

Da proposição, vale o seguinte

V 100 - 5 X = V - 5 X + 100 = - 5 2 ∙ V C = 25 ∙ 0.81 = 20.25

Resposta

E X = 2.3 ; V X = 0.81 ; E 100 - 5 X = 88.5 ; V 100 - 5 X = 20.25 ;

Exercícios de Livros Relacionados

Use o problema anterior para verificar as relações entre:(c) E 1 X e 1 E X , para X ≠ 0 .
A Desigualdade de Jensen.
Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento A com probabilidade p ou não ocorra A (ou seja, ocorre A c com probabilidade 1–p ). Repetimos o experimento de forma independente até que o eve
Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento A com probabilidade p ou não ocorra A (ou seja, ocorre A c com probabilidade 1–p ). Repetimos o experimento de forma independente até que o eve
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