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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 31

Uma loja de eletrodomésticos vende três modelos diferentes de freezers verticais com 13,5, 15,9 e 19,1 pés cúbicos de espaço, respectivamente. Seja X = volume de armazenagem comprado pelo próximo cliente a comprar um freezer. Suponha que a fmp de X seja

  1. Calcule E(X), E(X2 ) e V(X).
  2. Se o preço de um freezer com X pés cúbicos de capacidade for 25X 8,5, qual será o preço esperado pago pelo próximo cliente a comprar um freezer?
  3. Qual é a variância do preço 25X 8,5 pago pelo próximo cliente? d. Suponha que, apesar de a capacidade nominal de um freezer ser X, a capacidade real seja h(X) X 0,01X2 . Qual é a capacidade real esperada do freezer comprado pelo próximo cliente?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. O valor esperado é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P(x):

    2. E X =   ∑ x P x = 13.5 ∙ 0.2 + 15.9 ∙ 0.5 + 19.1 ∙ 0.3 = 16.38

    E X 2 =   ∑ x ² P ( x ) = 13.5 2 ∙ 0.2 + 15.9 2 ∙ 0.5 + 19.1 2 ∙ 0.3 = 272.298

    Variação de propriedade:

    V X = E X 2 - E X 2

    Usando esta propriedade, obtemos então que a variância é:

    V X = E X 2 - E X 2 = 272.298 - 16.38 2 =   3.9936

    Passo 2

  2. Para a combinação linear W=aX+b, o valor esperado e a variância são os seguintes (propriedades):

    3. E W = a E x + b

    V W = a 2 V X

    Usando a propriedade da média com a=25 e, b=−8,5, obtemos:

    E ( 25 X - 8.5 = 25 E X - 8.5 = 25 16.38 - 8.5 = 401

  3. Usando a propriedade da variância com a=25 e b=-8,5, obtemos:

    4. V 25 X - 8.5 = 25 2 V X = 25 2 3.9936 = 2496  

    Passo 3

  4. Para a combinação linear W = a X 1 + b X 2 , o valor esperado é o seguinte (propriedade):

E W = a E X 1 + b E X 2

Usando esta propriedade com a = 1 , X 1 = X , b =   - 0.01 e X 2 = X ² obtemos então

E X - 0.01 X 2 = E X - 0.01 E X 2 = 16.38 - 0.01 272.298 = 13 . 65702

Resposta

  1. E X = 16.38 ; E X 2 = 272.298 ; V X = 3.9936
  2. E 25 X - 8.5 = 401
  3. V 25 X - 8.5 = 2496
  4. E X - 0.01 X 2 = 13.65702

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