Exercícios de Propriedades do Valor Esperado e da Variância - Lista de Exercícios Resolvida

O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade

a) Calcule o tempo médio de processamento.

Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de $2,00, mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha $0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de $1,00.

b) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia de $ ganha por peça.

Uma máquina do tipo caça-níqueis é composta por três discos que giram de forma independente, cada qual contendo as seguintes figuras: 2 laranjas, 3 bananas, 4 maçãs e 5 morangos. O apostador deve pagar 50 reais para jogar. Se sair 3 laranjas, ele ganha 250 reais; se sair 3 bananas, ganha 200 reais; se sair 3 maçãs, ganha 150 reais e se sair 3 morangos, ganha 100 reais; em qualquer outra situação ele perde. Pergunta-se: qual o lucro esperado de um jogador em uma jogada? E se o jogador fizer dez jogadas?

Um empresário, investindo em um determinado empreendimento, espera ter os seguintes lucros em função dos cenários “Bom”, “Médio” e “Ruim”:

A esperança e a variância do lucro são, em R$ e , respectivamente,

1. 5.500,00 e 3.160,00
2. 5.300,00 e 3.510,00
3. 5.300,00 e 3.160,00
4. 5.000,00 e 3.510,00
5. 5.000,00 e 3.160,00

O tempo , em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:

1. Calcule o tempo médio de processamento.
2. Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, ganha a quantia adicional de . Encontre a distribuição, a média e a variância da variável aleatória.

c) Seja “” uma v.a. discreta com e é o desvio padrão de . Se , quem é e .

Prove as expressões abaixo:

Seja o número de carros lavados num lava-rápido em 1 hora.

Calcule .

Um empresário faz um estoque de um produto que custa e que ele vende a no primeiro dia em que o produto está na loja. Todo produto que não é vendido nesse primeiro dia não serve mais e é jogado fora. Seja a variável aleatória que denota o número de produtos que os fregueses compram em um dia casualmente escolhido. O empresário descobriu que a função de probabilidade X é dada por

Quantos produtos deveria o empresário ter em estoque a fim de maximizar a média (valor esperado) do lucro?

Um empresário comercializa mármore para o exterior. Esse material de produção do mármore pode estar defeituoso com probabilidade de e, nesse caso, ela tem probabilidade de ser recuperável. O custo de cada placa produzida é 1.200 u.m, que será acrescido de mais u.m se precisa ser recuperada. As irrecuperáveis são descartadas. Sabendo que cada peça é vendida a 3.500 u.m, encontre a distribuição da variável aleatória “lucro por peça produzida”.

1. Qual é o Lucro médio por peça produzida?
2. Em uma produção de 10.000 peças, qual é o lucro esperado?

Uma transportadora de cargas possui quatro caminhões de aluguel. O aluguel é realizado por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados por dia é dada por:

Sabendo que o aluguel por dia é da ordem de e que a despesa total diária com a manutenção de cada veículo é igual a quando este é alugado e de , quando tal fato não ocorre, encontre:

1. O número médio diário de caminhões alugados e o desvio padrão.
2. A média e o desvio padrão do lucro diário

7) A saída de um canal de comunicação é modelada pela variável aleatória , onde a entrada e o ruído são variáveis aleatórias independentes, com médias iguais a zero e variâncias iguais a e , respectivamente. O coeficiente de correlação entre a saída e a entrada é:

A)

B)

C)

D)

E)

Uma variável aleatória X possui a seguinte distribuição de probabilidade: Seja a variável aleatória . Os valores esperados são respectivamente:

Seja uma v.a. contínua com e , onde é o desvio padrão de . Se , quem é e .

1. Prove .

Duas variáveis aleatórias quaisquer são identicamente distribuidas e independentes. Sejam as variáveis aleatórias . Qual das alternativas está correta?:

A) tem covariància igual a meio.

B) tem correlação nula.

C) são independentes.

E) tem distribuição normal.

D) nenhuma das anteriores

1. Prove .

Uma empresa faz transporte de material por meio de caminhões e o volume de encomendas que ela recebe oscila ao longo do tempo. Admita que, escolhendo ao acaso um dia de trabalho:

• O número de entregas a serem feitas segue uma distribuição de Poisson com média de 5 entregas/dia;

• A empresa pode contratar, por empreitada, trabalhadores autônomos que constam de uma lista de 6 nomes. Todos eles tem a mesma chance de virem a ser contratados para servir à empresa naquele dia, e há independência entre as decisões de se contratar ou não relativas aos diversos trabalhadores da lista;

• O número de caminhões usados para realizar os serviços naquele dia pode ser igual a: 1 (com probabilidade 0,15), 2 (com probabilidade 0,60), ou 3 (com probabilidade 0,25).

Pergunta-se:

(c) Qual é o coeficiente de variação do número de caminhões a serem usados naquele dia?

b) Seja uma variável aleatória tal que e . Calcule e , aplicando as propriedades do valor esperado e da variância de funções lineares. Mostre todos os passos para se chegar ao resultado final.

Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos v.a.’s independentes com distribuição Normal com as seguintes médias e desvios-padrão:

Pacotes de café: média e desvio-padrão .

Pacotes de tapioca: média e desvio-padrão .

Pacotes de feijão: média e desvio-padrão .

Suponha que o peso da mala vazia é 1,5 kg e que, além disso, você ainda carrega exatos 2,0 kg de roupas.

Pede-se:

1. Determinando o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando todos os cálculos, qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os 20 kg permitidos para o embarque.
2. No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de e desvio-padrão de . A Aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das bagagens esteja entre e .

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

- Para utilizar a tabela da normal, ajustar para 2 casas decimais.

Sejam e variáveis aleatórias cuja função de probabilidade conjunta seja dada como abaixo, onde , para e :

1. Determine as distribuições marginais de e
2. e são independentes? Justifique
3. Determine a Distribuição de e calcule , a esperança de
4. Calcule , a variância de .

Mostre que se e são v.a. estatisticamente independentes, então .

1. Prove .

Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos v.a.’s independentes com distribuição Normal com as seguintes médias e desvios-padrão:

Pacotes de café: média e desvio-padrão .

Pacotes de tapioca: média e desvio-padrão .

Pacotes de feijão: média e desvio-padrão .

Suponha que o peso da mala vazia é 1,5 kg e que, além disso, você ainda carrega exatos 2,0 kg de roupas.

Pede-se:

1. Determinando o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando todos os cálculos, qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os 20 kg permitidos para o embarque.
2. No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de e desvio-padrão de . A Aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das bagagens esteja entre e .

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

- Para utilizar a tabela da normal, ajustar para 2 casas decimais.

12) Um dado possui a seguinte propriedade: os resultados e são equiprováveis, e os resultados e também são equiprováveis; no entanto, a probabilidade de se obter um é o dobro da de se obter um . Se a variável aleatória representa o resultado de um arremesso deste dado, o valor esperado de é:

A)

B)

C)

D)

E)

14) Considere duas variáveis aleatórias e com valores esperados e e variâncias e , respectivamente. O valor de é:

A)

B)

C)

D)

E)

03) Sejam e duas variáveis aleatórias tais que , e o coeficiente de correlação entre elas é igual a . O coeficiente de correlação entre e é igual a:

A)

B)

C)

D)

E)

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. Dentre as afirmações a seguir, quais são verdadeiras?

a) Se X e Y são independentes: E[XZ] = Cov[X,Y + Z] + E[X].E[Z] , para qualquer variável aleatória Z

b) Cov[X + Y, X − Y ] = V [X] − V [Y ] + 2Cov[X,Y ]

C) Cov[X + Y, X + Y ] = V [X] + V [Y ] + 2Cov[X,Y]

Seja , uma sequência de variáveis aleatórias independentes (resultados de 3 experimentos idênticos mas independentes). Sabe-se que

Deseja-se estimar μ com o seguinte estimador: μb = (X1 + X2 + X3)/3.

A variância de μb é igual a:

A tabela abaixo mostra a distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias e .

Sabe-se que . Dentre as afirmações a seguir, quais são verdadeiras?

a) e são variáveis independentes e .

b) e .

c) e.

1. Só (a)
2. Só (c)
3. Só (a) e (b)
4. Só (b)
5. Só (b) e (c)

Considere as seguintes afirmações referentes as variáveis aleatórias :

1. Se têm correlação negativa, então .

2. Se , então as variáveis não são correlacionadas.

3. Se e , então .

São verdadeiras apenas:

Sejam duas variáveis aleatórias com correlação , e a combinação linear

Sabendo-se que

A variância de é?

Uma partícula na reta real parte do ponto . A cada segundo, a partícula pode permanecer onde está ou se mover uma unidade para a direita; cada movimento é independente dos demais e, a cada instante, a probabilidade de permanecer é igual à probabilidade de se nover. Seja a posição da particula após segundos. Quais afirmações são verdadeiras?

A) C)

B)

Seja a variável aleatória , considere:

1. Se

Quais afirmações são corretas?

05) Uma variável aleatória contínua possui a seguinte função densidade de probabilidade:

O valor esperado de é:

A)

B)

C)

D)

E)

08) Um dado honesto é arremessado duas vezes, e define-se uma variável aleatória que representa o número de arremessos em que o resultado é igual a “1”. A variância de vale:

A)

B)

C)

D)

E)

11) Considere as afirmações a respeito de uma variável aleatória discreta que assume apenas valores reais.

(a) (b) (c)

Quais alternativas são corretas?

a) Só (a).

b) Só (a) e (c).

c) Só (a) e (b).

d) Só (b) e (c).

e) Só (c).

Se um saco de açúcar contém em média com desvio padrão de , qual é o par esperança;variància da variável aleatória definida como a média aritmética do peso de sacos de açucar, escolhidos independentemente, em um supermercado?

Suponha que um indivíduo jogue um jogo de azar em que é possível perder , empatar, ganhar ou ganhar cada vez que ele joga. A distribuição de probabilidade para cada resultado é fornecida pela tabela seguinte.

Sabendo-se que em média o indivíduo ganha por jogo, os valores de são respectivamente:

07) Uma variável aleatória contínua possui a seguinte função densidade de probabilidade:

,

Para . O valor esperado de é:

A)

B)

C)

D)

E)

04) Cada viagem que um cobrador profissional realiza até a casa do devedor custa reais. Se encontrar o devedor em casa, evento que tem probabilidade de , o cobrador consegue receber o valor devido; os eventos relacionados a diferentes viagens são independentes. Qual é o custo médio de cobrança de um devedor?

A)

B)

C)

D)

E)