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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 64

Uma empresa de seguros oferece a seus segurados inúmeras opções de pagamento de prêmio. Para um seguro selecionado aleatoriamente, considere X o número de meses entre pagamentos sucessivos. A função de distribuição acumulada de X é

F x = 0 ,                                         s e   x < 1 0,4 ,                 s e   1 ≤ x < 3 0 , 6 ,                 s e   3 ≤ x < 5 0 , 8 ,                 s e   5 ≤ x < 7 1 , 0 ,                                 s e   x ≥ 7

Determine

(a) Qual é a função de massa da probabilidade de X ?

(b) Calcule P ( 4 < X ≤ 7 ) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. De acordo com a Definição 3.5, a função de distribuição cumulativa F ( x ) de uma variável aleatória discreta X com a função de massa da probabilidade f ( x ) é:

F x = P X ≤ x = ∑ k ≤ x f ( x )

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

Como vimos a definição da função de distribuição cumulativa no Passo 1, para encontrarmos a função de probabilidade de massa, temos o seguinte:

f 0 = P X = 0 = P X ≤ 0 = F 0 = 0

f 1 = F 1 - F 0 = 0,4 - 0 = 0,4

f 2 = F 2 - F 1 = 0,4 - 0,4 = 0

f 3 = F 3 - F 2 = 0,6 - 0,4 = 0,2

f 4 = F 4 - F 3 = 0,6 - 0,6 = 0

f 5 = F 5 - F 4 = 0,8 - 0,6 = 0,2

F 7 = F 7 - F 6 = 1 - 0,8 = 0,2

E assim, sucessivamente, para x > 7 :

f x 0 = F x 0 - F x 0 - 1 = 1 - 1 = 0

Então, a função de massa da probabilidade é:

Passo 3

Nós queremos encontrar P ( 4 < X ≤ 7 ) .

Como X é uma variável aleatória discreta, P 4 < X ≤ 7 = P ( 5 ≤ X ≤ 7 ) .

P 4 < X ≤ 7 = P ( 5 ≤ X ≤ 7 )

= P X = 5 + P X = 6 + P ( X = 7 )

= f 5 + f 6 + f ( 7 )

Usando a tabela do passo anterior.

= 0,2 + 0 + 0,2

P 4 < X ≤ 7 = 0,4

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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