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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 78

Considere a situação do Exercício de revisão 3.77, mas suponha que a distribuição conjunta das duas proporções seja dada por

f y = 6 x 2 ,                                                 0 < x 1 < x 2 < 1 0 ,                                                           c a s o   c o n t r á r i o  

(a) Dê a distribuição marginal f x 1 ( x 1 ) da proporção X 1 e verifique se essa é uma função de densidade válida.

(b) Qual é a probabilidade de que a proporção X 2 seja menor que 0,5, dado que X 1 é 0,7?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A distribuição marginal é definida abaixo.

Para a variável aleatória X 1 , temos a fórmula:

g x 1 = ∫ x 2 f ( x 1 ,   x 2 ) d x 2

Lembrando que para que a função de densidade seja válida, a integral da distribuição marginal em todo o intervalo válido de x 1 deve ser igual a 1 .

∫ 0 1 g ( x 1 ) d x 1 = 1

Iremos definir as probabilidades conforme formos resolvendo. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Definindo a distribuição marginal de X 1 :

g x 1 = ∫ x 2 f ( x 1 ,   x 2 ) d x 2

= ∫ 0 x 1 6 x 2 d x 2

= 6 x 2 2   2 0 x 1

                    g x 1 = 3 x 1 2                 0 < x 1 < 1

Verificando se a função de densidade é válida pela fórmula do Passo 1:

∫ 0 1 g ( x 1 ) d x 1 = 1

= ∫ 0 1 ( 3 x 1 2 ) d x 1

= 3 x 1 3 3 0 1

1 = 1

Logo, podemos concluir que ela é válida!!

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade P ( X 2 < 0,5 | X 1 = 0,7 ) . Faremos isso com a ajuda da fórmula a seguir:

P X 2 < 0,5 X 1 = 0,7 = P ( X 1 = 0,7 ,   X 2 < 0,5 ) g x 1

= P ( X 1 = 0,7 ,   0 < X 2 < 0,5 ) g ( 0,7 )

= ∫ 0 0,5 6 x 2 d x 2 3 0,7 2

= 3 0,5 2 3 0,7 2

= 0,75 1,47

P X 2 < 0,5 X 1 = 0,7 = 0,5102

Resposta

(a) g x 1 = 3 x 1 2

(b) 0,5102

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