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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 76

O tempo Z , em minutos, entre as ligações para um fornecedor de energia elétrica tem função densidade de probabilidade de

f y = 1 10 e - x / 10 ,                                                                 0 < z < ∞ 0 ,                                                                         c a s o   c o n t r á r i o  

(a) Qual é a probabilidade de que não haja ligações em um intervalo de 20 minutos?

(b) Qual é a probabilidade de que a primeira ligação aconteça dentro de dez minutos após a abertura?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para calcularmos a probabilidade de uma função de densidade de uma variável aleatória contínua, nós temos a seguinte fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x d x

Usamos integral neste caso, pois, variáveis contínuas consideram os números irracionais. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Se não houver chamadas em um intervalo de 20 minutos, significa que há mais de 20 minutos entre 2 chamadas. Assim, precisamos determinar a probabilidade P ( Z > 20 ) .

P Z > 20 = ∫ 20 ∞ f ( z ) d z

= ∫ 20 ∞ 1 10 e - x / 10 d z

= - 10 e - z / 10 10 20 ∞

= - e - ∞ / 10 + e - 20 / 10

Qualquer número elevado a menos infinito é 0 .

= 0 + e - 2

P Z > 20 = 0,1353

Passo 3

Se a primeira chamada ocorrer nos primeiros 10 minutos após a abertura, isso significa que houve no máximo 10 minutos entre as chamadas e, portanto, precisamos encontrar a probabilidade P ( Z ≤ 10 ) .

P Z ≤ 10 = P 0 < Z ≤ 10

= ∫ 0 10 f ( z ) d z

= ∫ 0 10 1 10 e - x / 10 d z

= - 10 e - z / 10 10 0 10

= - e - 10 / 10 + e 0

Qualquer número elevado a menos infinito é 0 .

= - e 1 + 1

P Z ≤ 1 0 = 0 , 6321

Resposta

(a) 0,1353

(b) 0,6321

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