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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 100

Especifique os estimadores de momentos para a e

/3 na distribuição gama

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Devemos encontrar os estimadores de momento para α e β da distribuição gama. O pdf da distribuição Gama com parâmetros α e β é dado por

f ( y ) = 1 β a Γ ( a ) y a - e y p ,   0 < y < ∞ 0 α , β > 0

A média (primeiro momento) da distribuição é dada por

E ( Y )   = ∫ 0 ∞     y ( y ) d y   = ∫ 0 ∞     y × 1 β ∞ Γ ( a ) y a - e e p d y   = 1 β σ Γ ( a ) ∫ 0 ∞     y ( a + 1 ) - 1 e p d y

Suponha que f ( y ) seja um gammapdf válido com parâmetros ( α + 1 ) e β ,então, ∫ 0 ∞   f ( y ) d y = 1

1 β a + 1 Γ ( a + 1 ) ∫ 0 ∞     y ( a + 1 ) - 1 e - 1 p x y d y = 1   ⇒ ∫ 0 - ( a + 1 ) - 1     y - 1 β x y d y = β ( x + 1 ) Γ ( a + 1 )

Portanto

E ( Y )   = 1 β - Γ ( α ) × β α + 1 Γ ( α + 1 ) (   J á  que   Γ ( α + 1 ) = a Γ ( α ) )   = α β

Passo 2

Similarmente

E Y 2   = ∫ 0 ∞     y 2 f ( y ) d y   = ∫ 0 ∞     y 2 × 1 β ⊤ Γ ( α ) y α - 1 y p d y   = 1 β π Γ ( α ) ∫ 0 ∞     y ( x + 2 ) - 1 e y β d y

Suponha que f ( y ) seja um gammapdf válido com parâmetros ( α + 2 ) e β ,

  then ,  ∫ 0 ∞     f ( y ) d y = 1 1 β a + 2 Γ ( α + 2 ) ∫ 0 ∞     y ( a + 2 ) - - 1 p x y d y = 1   ⇒ ∫ 0 =     y ( a + 2 ) - 1 e - 1 p x y d y = β ( a + 2 ) Γ ( α + 2 ) E Y 2 = 1 β α Γ ( α ) × β α + 2 Γ ( α + 2 ) (   J á  que   Γ ( α + 2 ) = ( α ) ( α + 1 ) Γ ( α ) )   = α ( a + 1 ) β 2

Passo 3

Então,

V ( Y )   = E Y 2 - ( E ( Y ) ) 2   = α ( α + 1 ) β 2 - ( α β ) 2   = α β 2

Passo 4

Os momentos μ 1 1 = α β populacionais e σ 2 = α β 2 as estimativas amostrais da média e variância da população são conhecidos por serem a média da amostra e a variância da amostra ( x - ) Igualando ambos os momentos, s 2

H ˆ 1 1 = x ‾   e   o ˆ 2 = s 2 ⇒ β ˆ   = α β 2 α β   = s 2 x ‾

Substitua o valor de β ˆ na fórmula de estimativa de a ˆ .

x -   = a ˆ × s 2 x - ⇒ a ˆ   = x - 2 s 2   = x - s 2

Portanto, o estimador de momento α de é x - s 2 e o estimador de momento de β é s 2 x -

Resposta

Resposta nos passos.

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