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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 84

Considere as observações x x> x,, ..., x da distribui­

ção gama discutida na Seção 6.6.

(a) Escreva a função de verossimilhança.

(b) Escreva um conjunto de equações que, quando resolvidas, fornecem os estimadores de máxima verossimilhança de a e jS .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O pdf da distribuição Gama com parâmetros β e α é dado por

f ( y ) = 1 β Γ ( α ) y σ - e e ,   0 < y < ∞ s , α 2 β > 0

a) Seja x 1 x 2 , x n uma amostra aleatória independente extraída de uma distribuição gama com dois parâmetros e α . β A função de verossimilhança da distribuição é dada por

L = ∏ n ‾ n     f x ı ∣ α 2 β   = ∏ i = 1 n     1 β α Γ ( α ) x i α - 1 e - y p   = 1 β a x ( Γ ( α ) ) n × x 1 x 2 - x 1 ( a - 1 ) × e - 1 β x 1 + x 1 + … + x a   = 1 β a x ( Γ ( α ) ) n × ∏ i = 1 n     x F ( a - 1 ) × e - 1 ρ ∑ n ˙     x 2

Passo 2

b) Os estimadores de máxima verossimilhança de α e β são obtidos pela resolução de equações

∂ l o g ⁡ L ∂ α = 0   e   ∂ l o g ⁡ L ∂ β = 0

L = β - π x × ( Γ ( α ) ) - π × ∏ i = 1 n     x i ‾ ( α - → ) × e - 1 p ∑ ¯     - x i l o g ⁡ L = - n a l o g ⁡ β - n l o g ⁡ ( Γ ( α ) ) + ( α - 1 ) l o g ⁡ ∏ i = n     x i ˆ - 1 β ∑ i = 1 n     x i ‾ l o g ⁡ e e   = - n α l o g ⁡ β - n l o g ⁡ ( Γ ( α ) ) + ( α - 1 ) l o g ⁡ ∏ n ‾     x i ‾ - 1 β ∑ n ˙     x i ‾

( Desde log, e = 1 )

Passo 3

 Consider e   ∂ l o g ⁡ L ∂ α = 0 ∂ l o g ⁡ L ∂ α = 0 ∂ ∂ α - n α l o g ⁡ β - n l o g ⁡ ( Γ ( α ) ) + ( α - 1 ) l o g ⁡ ∏ i = n     x z ˆ - 1 β ∏ H ‾ n     x z ˆ = 0   - l o g ⁡ β - n Γ ( α ) Γ ( α ) + ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x z ‾ - 1 β ∏ i = n     x i ‾ = 0  sincelog  ∏ i = 1 n     x i ˆ = ∑ H ˙ n     l o g ⁡ x i ˆ   - l o g ⁡ β - n Γ ' ( α ) Γ ( α ) - 1 β ∑ i = 1 n     x i ‾ = - ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i   ⇒ n l o g ⁡ β + n Γ ' ' ( α ) Γ ( α ) + 1 β ∑ i = 1 n     x i = ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i  Consider e   ∂ l o g ⁡ L ∂ β = 0 ∂ l o g ⁡ L ∂ β = 0 ∂ ∂ β - n a l o g ⁡ β - n l o g ⁡ ( Γ ( α ) ) + ( α - 1 ) l o g ⁡ ∏ i = 1 n     x i - 1 β ∑ i = 1 n     x i = 0   - n a β - 0 + 0 + 1 β 2 ∑ i = 1 n     x ε = 0   - π β + ∑ i = 1 n     x i = 0   ⇒ ∑ i ˙ n     x i ‾ = α β

Portanto, a seguir estão duas equações que são necessárias para obter os estimadores de máxima verossimilhança de α e β

n l o g ⁡ β + n Γ ⊤ ( α ) Γ ( α ) + 1 β ∑ i = n     x i = ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i   ∑ i = n     x i = n α β

Resposta

Resposta nos passos.

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