( a ) Estabeleça as hipóteses de interesse nesse experimento.

( b ) Teste as hipóteses anteriores e tire conclusões, usando a análise de variância com α = 0,05 .

( c ) Analise graficamente a interação.

( c ) Analise os residuos desse experimento.

( e ) Usando o método M D S de Fisher, investigue as diferenças entre densidade média do ânodo nos três níveis diferentes de temperatura. Use α = 0,05 .

Passo 1

Bom galera, podemos montar uma tabela com os fatores estudados e fica:

E o modelo é:

( a )

Y i j k = μ + τ i + β j + τ β i j + ϵ i j k ,   i = 1,2 , 3 ; j = 1,2 , 3,4 ; k = 1 , … , 6

As hipóteses devem ser testadas da seguinte forma:

( b )

H 0 : τ i = 0

H 1 : a o   m e n o s   u m   τ i ≠ 0 ,   i = 1,2

E:

H 0 : β j = 0

H 1 : a o   m e n o s   u m   β j ≠ 0 ,   j = 1,2 , 3

Passo 2

Belezinha, considere dois fatores: A e B . y i . . mostra o total de observações realizadas em i no nível do fator de A , y . j . mostra o total de observações feitas em j no nível do fator de B , y i j . mostra o total de observações na célula i j , e y … então correspondendo a linha, coluna, célula e média. Usando as formulas para contruir a tabela A N O V A :

S S T = ∑ i = 1 a ∑ j = 1 b ∑ k = 1 c y i j k 2 - y … 2 / a b n

S S A = ∑ i = 1 a y i . . 2 / b n - y … 2 / a b n

S S B = ∑ j = 1 b y . j . 2 / a n - y … 2 / a b n

S S A B = ∑ i = 1 a ∑ j = 1 b y i j . 2 / n - y … 2 / a b n - S S A - S S B

S S E = S S T - S S A B - S S A - S S B

M S A = S S A a - 1 ; M S B = S S B b - 1 ; M S A B = S S A B a - 1 b - 1 ; M S E = S S E a b ( n - 1 )

Para testar se os efeitos do fator de linha são todos iguais a zero ( H 0 : τ i = 0 ), usando a razão F 0 = M S A M S E , que tem uma distribuição F com a - 1 e a b ( n - 1 ) graus de liberdade.

Para testar se os efeitos do fator de coluna são todos iguais a zero ( H 0 : B j = 0 ), use a razão F 0 = M S B M S E , que tem uma distribuição F com b - 1 e a b ( n - 1 ) graus de liberdade.

Para testar se todos os efeitos de interação são zero, usando a razão F 0 = M S A B M S E ,   com uma distribuição F e ( a - 1 ) ( b - 1 ) e a b ( n - 1 ) graus de liberdade.

Geralmente é melhor realizar o teste para a interação primeiro e depois avaliar os principais efeitos. Se a interação não for significativa, a interpretação do teste sobre os efeitos é simples. Se a interação for significativa, os principais defeitos envolvidos da interação podem não ter muito valor interpretativo prático.

Passo 3

Então, agora fazemos o ANOVA pelo Minitab, e temos como resultado:

( b )

Como o P vaor do teste F para interação é 0,136 e é superior a α = 0,05 , concluímos que no nível de 5 % a interação não é significativa. Portantom podemos continuar testando a hipótese para os principais efeitos.

Uma vez que o P valor do teste F para isolamento é 0,000 é inferior a α = 0,05 , nós rejeitamos H 0 : β j = 0 e concluímos que há efeito do isolamento. Uma vez que o P valor do teste F para a temperatura é 0,725 que é maior que α = 0,05 , não podemos rejeitar H 0 : τ i = 0 e concluímos que não há evidências para o efeito da temperatura. ( c ) Valor traçar o gráfico de interação para y pela temperatura em diferentes níveis de isolamento, o gráfico fica:

( c )

As linhas do gráfico não se cruzam, na verdade, algumas das linha parecem aproximadamente paralelas. Portanto, concluímos que a interação não é significativa nesse experimento.

Passo 4

Agora, plotamos os gráficos de probabilidade normal e de resíduos pelo Minitab:

( d )

O gráfico de probabilidade normal não indica qualquer partida da normalidade além de alguns pontos na cauda. Os lotes de resíduos são bastante simétricos sobre zero.

Passo 5

Investigando as diferenças entre as densidade médias em três temperaturas diferentes. O estimados de pontos de diferença entre i e j significa para o fator 1 (tipo de isolamento) μ i - μ j é y - i . . - y - j . . . A variância deste estimador (assumindo que os erros são normalmente distribuídos) é:

V y - i . . - y - . j . = σ 2 a n + σ 2 a n

= 2 σ 2 a n

Usaremos M S E para estimar σ 2 . As estatísticas t = y - i . . - y - . j . - μ i - μ j 2 M S E / ( a n ) tem uma distribuição t com a b n - 1 graus de liberdade. Assim, considera-se que a diferença μ i - μ j é significativa se y - i . . - y - . j . for maior que a diferença L S D = t α / 2 , a b ( n - 1 ) 2 M S E a n menos significativa.

Encontrando a densidade média para cada temperatura. Os resultados ficam:

Encontrando o valor do L S D para α = 0,05 . Nós temos a = 4 , b = 3 , n = 6 e M S E = 3,774 .

L S D = t α 2 , a b n - 1 2 M S E a n

= t α 2 , a b n - 1 2 3,774 3 ⋅ 6

= 2,000 2 3,774 3 ⋅ 6 = 1,2951

Passo 6

Por fim, encontramos os valores absolutos das diferenças de meios para diferentes temperaturas e comparamos com o valor do L S D . Os resultados ficam:

( e )

Assim, há uma diferença significativa entre os meios para todos os tipos de isolamento.

Resposta

( a )

Y i j k = μ + τ i + β j + τ β i j + ϵ i j k ,   i = 1,2 , 3 ; j = 1,2 , 3,4 ; k = 1 , … , 6

( b )

H 0 : τ i = 0

H 1 : a o   m e n o s   u m   τ i ≠ 0 ,   i = 1,2

E:

H 0 : β j = 0

H 1 : a o   m e n o s   u m   β j ≠ 0 ,   j = 1,2 , 3

( c )

A interação não é significativa nesse experimento.

( e )

Há uma diferença significativa entre os meios para todos os tipos de isolamento.

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