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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 33

Estatísticas lançadas pela Administração de Segurança Nacional das Estradas e o Conselho de Segurança Nacional dos Estados Unidos mostram que, em uma noite do fim de semana, um em cada dez motoristas na estrada está alcoolizado. Se 400 motoristas forem checados aleatoriamente no próximo sábado à noite, qual é a probabilidade de que o número de motoristas bêbados seja

(a) menor que 32?

(b) maior que 49?

(c) pelo menos 35, mas não mais que 47?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Primeiro, vamos organizar as informações do enunciado.

O número de motoristas é n = 400 .

Nós vamos considerar motoristas alcoolizados como sucesso, então, a probabilidade de sucesso é p = 1 / 10 = 0 , 1 .

Usaremos X para representar o número de motoristas alcoolizados, entre 400 motoristas.

Sendo assim, X tem distribuição binomial com parâmetros n = 4 00 e p = 0 , 1 .

A média da distribuição binomial é:

μ = n p = 400 0 , 1 = 40

E o desvio padrão é definido por:

σ = n p 1 - p = 400 0 , 1 1 - 0 , 1 = 6

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Precisamos encontrar a probabilidade de que menos de 32 motoristas estejam alcoolizados. Então, queremos encontrar a área a esquerda de x = 31,5 .

z = x - μ σ = 31 , 5 - 40 6 = - 1,42

Portanto, a probabilidade é:

P X < 32 = P Z < - 1,42 = 0 , 0778

Passo 3

Agora, queremos a probabilidade de que mais de 49 motoristas estejam alcoolizados. Sendo assim, queremos a área a direita de x = 49,5 .

z = x - μ σ = 49,5 - 40 6 = 1 , 58

Logo, a probabilidade é:

P X > 49,5 = P Z < 1,58 = 0 , 0571

Passo 4

Por fim, queremos saber a probabilidade de que mais de 35 e menos de 47 estejam alcoolizados. Então, temos que achar a área entre x 1 = 34,5 e x 2 = 46,5 .

z 1 = x 1 - μ σ = 34,5 - 40 6 = - 0,92

z 2 = x 2 - μ σ = 46,5 - 40 6 = 1,08

Portanto, a probabilidade é:

P 35 ≤ X < 47 = P - 0,92 < Z < 1,08

= P Z < 1,08 - P Z < - 0,92

= 0,8599 - 0,1788

P 35 ≤ X < 47 = 0,6811

Resposta

a) 0,0778

b) 0,0571

c) 0,6811

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