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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 78

Um exemplo de gr��fico de controle estatístico de processo. Amostras de 20 peças de um processo de um corte metálico são selecionadas a cada hora. Tipicamente, 1% das peças requer retrabalho. Seja X o número de peças na amostra de 20 que requerem retrabalho. Suspeita-se de um problema no processo se X exceder sua média em mais de três desvios-padrão.

  1. Se a porcentagem de peças que requerem retrabalho permanecer em 1%, qual será a probabilidade de X exceder sua média em mais de três desvios-padrão?
  2. Se a porcentagem de retrabalho aumentar para 4%, qual será a probabilidade de X exceder um?
  3. Se a porcentagem de retrabalho aumentar para 4%, qual será a probabilidade de X exceder um em no mínimo uma das próximas cinco horas de amostras?

Passo 1

Seja X a variável aleatória do número de peças que requerem retrabalho (do total de instâncias). X tem a distribuição binomial com parâmetros n = 20 ,   p .

A função de massa de probabilidade de X é dada por:

P ( X = k ) = C 20 k   p k × ( 1 - p ) 20 - k ,   k = 0,1 , . . . , 20

Passo 2

Letra a:

Vamos fazer p = 0.01 . Agora vamos calcular a média e o desvio padrão:

E ( X ) = n p = 20 × 0.01 = 0.2

σ X = n p ( 1 - p ) = 0.44

Calculamos o limite superior para retrabalho:

U = E ( X ) + 3 × σ X = 1.53

Portanto, se 2 de 20 peças exigirem retrabalho, suspeitamos um problema de processo.

Vamos calcular essa probabilidade:

P ( X > 1.53 ) = 1 - P ( X = 0 ) - P ( X = 1 ) = 0.0169

Passo 3

Na letra b:

Vamos colocar p = 0.04 e calcular a probabilidade:

P ( X > 1 ) = 1 - P ( X = 0 ) - P ( X = 1 ) = 0.19

Passo 4

Letra c:

Introduzimos a nova variável aleatória binomial, Y , que conta o número de horas (do total de 5 horas) em que a variável aleatória X excedeu 1. A probabilidade de X exceder 1 é constante a cada hora e é igual a:

P Y = P ( X > 1 ) = 0.19

como foi calculado na parte b.

Portanto, os parâmetros de Y são n Y = 5 ,   p Y = 0.19 . A função de massa de probabilidade de Y é dada por:

P ( Y = k ) = C 5 k   p Y k × ( 1 - p Y ) 5 - k ,   k = 0,1 , . . . , 5

Agora, calculamos a probabilidade:

P ( Y ≥ 1 ) = 1 - P ( Y = 0 ) = 0.651

Resposta

  1. 0.0169
  2. 0.19
  3. 0.651
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