Enunciado
Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 20
Para os exercícios (a) a (e) abaixo, considere o enunciado: Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para essas dê os respectivos campos de definição e função de probabilidade. Quando julgar que a variável não é binomial, aponte as razões de sua conclusão.
(a) De uma urna com dez bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposição, cinco bolas. X é o número de bolas brancas nas cinco extrações.
(b) Refaça o problema anterior, mas dessa vez as n extrações são sem reposição.
(c) Temos cinco urnas com bolas pretas e brancas e vamos extrair uma bola de cada urna. Suponha que X seja o número de bolas brancas obtidas no final.
(d) Vamos realizar uma pesquisa em dez cidades brasileiras, escolhendo ao acaso um habitante de cada uma delas e classificando-o em pró ou contra um certo projeto federal. Suponha que X seja o número de indivíduos contra o projeto no final da pesquisa.
(e) Em uma indústria existem 100 máquinas que fabricam determinada peça. Cada peça é classificada como boa ou defeituosa. Escolhemos ao acaso um instante de tempo e verificamos uma peça de cada uma das máquinas. Suponha que X seja o número de peças defeituosas.
Passo 1
Primeiro precisamos saber o que é essa tal distribuição binomial.
De modo geral
A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidades, aplicável sempre que o processo de amostragem é do tipo de Bernoulli.
Putz... mas quem é esse tal de Bernoulli?
Um processo é de Bernoulli quando:
só existem dois resultados (sucesso e fracasso);
os eventos são independentes;
a probabilidade de sucesso é a mesma para cada evento.
Vamos designar por X o número total de sucessos em n ensaios de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p, 0 p X são 0, 1, 2, ..., n e os pares (k, p(k)), onde p(k) = P(X = k), constituem a chamada distribuição binomial.
Usaremos a notação
Fechou? Agora sabemos o que é uma distribuição binomial.
Beleza... mas é a função de probabilidade?
A fórmula geral da f.p. da distribuição binomial é dada por:
Onde,
= número de sucessos, em tentativas
= número de fracassos, em tentativas
= probabilidade de sucesso em uma tentativa
= probabilidade de fracasso nessa tentativa (lembrete: )
= número de resultados experimentais que fornecem exatamente k sucessos em ensaios (em Matemática, chamamos de combinação simples ou número binomial).
Galerinha, uma coisa que nunca podemos esquecer é que
A distribuição binomial é utilizada para eventos COM reposição (ou repetição).
Passo 2
(a) Opa, é uma clara distribuição binomial com os parâmetros e . Logo
Passo 3
(b) Lembra o que nunca podemos esquecer? A distribuição binomial é utilizada para eventos COM reposição. Logo a variável X não tem distribuição binomial, pois as extrações são feitas SEM reposição, ou seja, a probabilidade de sucesso não é a mesma em todos as extrações.
Passo 4
(c) A variável X terá distribuição binomial apenas se a proporção de bolas brancas for a mesma em todas as urnas.
Passo 5
(d) Novamente, a variável em estudo terá distribuição binomial apenas se a proporção de pessoas com opinião contrária ao projeto for a mesma nas 10 cidades pesquisadas.
Passo 6
(e) Neste caso, as máquinas têm que funcionar independente e apresentar uniformidade quanto à produção de peças defeituosas, ou seja, a probabilidadede se obter uma peça com defeito tem de ser a mesma em todas as máquinas.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)