Enunciado
Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 24
Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados.
Passo 1
Bom, o enunciado quer que a gente olhe de duas formas, certo? Então, vamos começar pela Binomial!
- Binomial
Considerando como o número de itens defentuosos encontrados na amostra, os parâmetros serão:
Lembram, né? Representamos a binomial como:
E sabemos também que a fórmula geral da f.p. da distribuição binomial é dada por:
Já a distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0 é dada por:
Onde,
= número de ocorrências
= base dos logaritmos naturais, isto é e = 2,7182... (constante)
= média de ocorrências num certo intervalo
Guardem essa relação no coração, ela será muito útil nessa questão e em possíveis questões de prova.
Passo 2
Portanto se queremos a probabilidade de que não mais do que um item defeituoso seja encontrado, queremos .
Passo 3
Agora vamos olhar a distribuição de Poisson
- Poisson
É um pouco diferente, eu sei, olhar para esse caso como Poisson. Mas vamos tentar, ok?
A nossa variável aleatória continua sendo = número de itens defeituosos encontrados na amostra.
Na distribuição de Poisson é sempre importante identificar o parâmetro, no caso o . Como o é geralmente a média, observando o enunciado, como temos dez itens e a probabilidade de ser defeituoso é 0,2 podemos dizer que a média de itens defeituosos é , certo? Portanto se queremos a probabilidade de no máximo dois defeituosos, logo
Passo 4
Notem que os resultados obtidos, apesar de diferentes, são razoavelmente próximos.
Resposta
Binomial:
Poisson:
Resultados razoavelmente próximos.