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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 7

Uma fábrica de embalagens para produtos químicos está estudando dois processos para

combater a corrosão de suas latas especiais. Para verificar o efeito dos tratamentos, foram

usadas amostras cujos resultados estão no quadro abaixo (em porcentagem de corrosão

eliminada). Qual seria a conclusão sobre os dois tratamentos?

Passo 1

  Vamos começar definindo a variável X   =   p o r c e n t a g e m   d e   c o r r o s ã o   e l i m i n a d a .

E supondo que as populações possuem distribuição normal e são independentes.

Do enunciado:

N a = 15   e   N b = 12

X - a = 48 %   e   X - b = 52 %

S a 2 = 10 2   e   S b 2 = 15 2

Adotando α = 5 % , devemos realizar o teste de hipótese para a diferença entre as variâncias.

F = S a 2 σ a 2 S b 2 σ b 2 ~ f n a - 1 ; n b - 1 D i s t r i b u i ç ã o   f   d e   S n e d e c o r ,   c o m   n a - 1 n u m e r a d o r   e   n b - 1 ( d e n o m i n a d o r )   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Teste de Hipótese: H 0 :   σ a 2 - σ b 2 = 0         e     H 1 :   σ a 2 - σ b 2 ≠ 0

Vamos construir a Região crítica: RC= f 0 ∈ R f 0 < f 1 - α 2 ; 14 ; 11   o u   f 0 > f α 2 ; 14 ; 11

Lembrando que, como nossa hipótese alternativa é unilateral inferior, precisamos procurar na tabela o nosso f 1 - α ; n a - 1 , n b - 1 , mas a tabela só mostra o unilateral superior(lado direito “>”), portanto para encontrar o f   precisamos inverter os graus de liberdade do numerador e do denominador, e pegar o inverso do valor encontrado na tabela.

Então:

f 0,025 ; 14 ; 11 = 3,36

E

f 0,975 ; 14 ; 11 = 1 f 0,025 ; 11 ; 14 = 1 3,10 = 0,322

Portanto, nossa região crítica assume a seguinte forma:

R C = f 0 < 0,322   o u   f 0 > 3,36

Teste sob H 0 :

f 0 = S a 2 σ a 2 S b 2 σ b 2 = 100 225 = 0,44

Portanto f 0 = 0,44 não pertence à região crítica, logo não rejeitamos H 0 e existem evidencias de que as variâncias são iguais.

Passo 2

Agora podemos realizar o teste para as médias, considerando variâncias desconhecidas e iguais:

T = X - a - X - b - μ a - μ b S c 2 1 n a + 1 n b     ~ t n a + n b - 2

D i s t r i b u i ç ã o   t - s t u d e n t ,   c o m   N a + N b - 2   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Onde:

S c 2 = n a - 1 . S a 2 + n b - 1 . S b 2 n a + n b - 2 = 155

Teste de hipótese: H 0 : μ a - μ b = 0     e   H 1 :   μ a - μ b ≠ 0

Vamos construir nossa região crítica: R C = t 0 ∈ R t 0 < - t α 2 ; 25   o u   t 0 > t α 2 ; 25

Da tabela: t 0,025 ; 25 = ± 2,060

Portanto, nossa Região crítica assume a seguinte forma:

R C = t 0 < - 2,060   o u   t 0 > 2,060

Passo 3

Teste sob H 0 :

t 0 = 48 - 52 - 0 155 . 1 15 + 1 12 = - 0,829

Resposta

Como, t 0 = - 0,829 não pertence à região crítica, não rejeitamos H 0 , e então temos evidencias de que os dois métodos possuem médias iguais e portanto são igualmente eficientes em combater a corrosão.

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