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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 62

A fabricação de um componente requer três operações diferentes de usinagem. O tempo de usinagem de cada operação possui distribuição normal e os três tempos são independentes um do outro. Os valores médios são 15, 30 e 20 min, respectivamente, e os desvios padrão são 1, 2 e 1,5 min, respectivamente. Qual é a probabilidade de a usinagem levar no máximo 1 hora para produzir um componente selecionado aleatoriamente?

Passo 1

Deixe as variáveis aleatórias X 1 , X 2 , X 3 têm valores médios de 15,30,20 minutos, desvios padrão de 1,2,1.5 minutos, respectivamente. Olhe para a variável aleatória

T 0 = X 1 + X 2 + X 3

Como 1 hora = 60 minutos, a probabilidade que precisa ser obtida é

P ( T 0 ≤ 60 )

Para calculá-lo, valores médios e desvio padrão da variável aleatória T 0 é necessário. O seguinte vale para o valor médio

E T 0 = E X 1 + X 2 + X 3 = E X 1 + E X 2 + E X 3

= 15 + 30 + 20 = 65

e para a variação

V T 0 V X 1 + X 2 + X 3 = V X 1 + V X 2 + V X 3

= 1 2 + 2 2 + 1.5 2 =   7.25

Passo 2

O desvio padrão da variável aleatória T 0 é

σ T =   V T 0 =   7.25 = 2.6926

A probabilidade agora pode ser calculada como

P   T 0   ≤ 600 = P T 0 - E T 0 σ T   ≤ 60 - 65 2.6926 = P Z   ≤   - 1.86

= 0.0314

Resposta

0.0314

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