Enunciado

Foi feito um levantamento, durante n = 10 meses, a respeito do faturamento total de uma empresa Y , em milhões de cruzeiros, em função do valor das vendas de dois de seus produtos X 1 e X 2 , também em milhões de cruzeiros.

Efetuando os cálculos dos somatórios necessários à montagem de regressão obteve-se:

Pede-se:

  1. Testar a existência da regressão múltipla e verificar se o aumento em seu poder de explicação é significativo (em relação ao modelo simples só com X 1 ), ambos ao nível de 2,5%.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para fazermos o teste de existência da regressão múltipla e análise de melhoramento, iremos fazer pela Análise de Variância representada pela tabela:

  • Se F R > F t a b existe regressão de Y sobre X 1 e X 2 ;
  • Se F M > F t a b o melhoramento é significativo para essa variável X i .

Para a análise de melhoramento em relação a X 1 :

∆   = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 - S Y 1 S 11 ∙ S Y 1

Passo 2

Então vamos para o nosso exercício. Do exercício 13b), temos:

  • b = 3,67 ;
  • b 1 = 2,43 ;
  • b 2 = 3,71 ;
  • S Y 1 = 22,0 ;
  • S Y 2 = 16,0 ;
  • S Y Y = 140,4 ;
  • S 11 = 6,0 .

Primeiramente iremos encontrar nosso F tabelado, onde:

  • G L E = 2 ;
  • G L M = 1 ;
  • G L R = n - 3 = 10 - 3 = 7 .

Para α = 0,0 25 :

F R - t a b = 6,54

F M - t a b = 8,07

Passo 3

Então agora vamos calcular os quadrados médios:

Q M E = 2,43 ∙ 22,0 + 3,71 ∙ 16,0 2 = 56,41

S 2 = 140,4 - 2,43 ∙ 22,0 - 3,71 ∙ 16,0 7 = 3,94

F R = Q M E S 2 = 56,41 3,94 = 14,32

Como F R > F t a b ( 14,32 > 6,54 ), então existe regressão de Y sobre X 1 e X 2 .

Passo 4

Agora vamos calcular o melhoramento:

∆   = 2,43 ∙ 22,0 + 3,71 ∙ 16,0 - 22,0 6,0 ∙ 22,0

∆   = 32,15

F M = ∆ S 2 = 32,15 3,94 = 8,16

Como F M > F t a b ( 8,16 > 8,07 ), o melhoramento é significativo em relação a X 1 para α = 0,025 .

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

  • Existe regressão ( F R > F t a b );
  • O melhoramento é significativo ( F M > F t a b ).

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