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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 58

A função de densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é

f x ,   y = 6 x ,               0 < x < 1 ,         0 < y < 1 - x 0 ,                                                                 c a s o   c o n t r á r i o

(a) Mostre que X e Y não são independentes.

(b) Determine P ( X > 0,3 | Y = 0,5 ) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. As variáveis X e Y são independentes se respeitarem a igualdade abaixo:

f x ,   y = g x h ( y )

Valendo para todos os valores de x e y que as variáveis podem assumir.

E para calcularmos g ( x ) e h ( y ) , usamos as fórmulas a seguir:

g x = ∫ y f ( x ,   y ) d y                                 h y = ∫ x f ( x ,   y ) d x

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

Encontrando as densidades marginais:

g ( x ) = ∫ y f ( x ,   y ) d y

= ∫ 0 1 - x 6 x d y

= 6 x y 0 1 - x

= 6 x 1 - x - 0

                                          g x = 6 x 1 - x                 0 < x < 1

Agora, precisamos encontra h ( y ) . Como o intervalo de y é y < x - 1 , temos:

x < 1 - y         →               0 < x < 1 - y

Então, de forma similar a g ( x ) :

h y = ∫ x f ( x ,   y ) d x

= ∫ 0 1 - y 6 x d x

= 6 x 2 2 0 1 - y

= 3 1 - y 2 - 0 2

                                                          h y = 3 1 - y 2                     0 < y < 1

Sendo assim, nós temos que:

g x h y = 6 x ( 1 - x ) ∙ 3 1 - y 2

O que não é igual a f x , y = 6 x .

Logo, as variáveis não são independentes.

Passo 3

Na letra (a) nós vimos o seguinte intervalo 0 < x < 1 - y . Por isso, a probabilidade solicitada por ser reescrita como:

P X > 0,3 Y = 0,5 = P 0,3 < X < 1 - 0,5 Y = 0,5 = P ( 0,3 < X < 0,5 | Y = 0,5 )

Por fim, podemos calcular a probabilidade:

P 0,3 < X < 0,5 Y = 0,5 = ∫ x f ( x | 0,5 ) d x

= ∫ 0,3 0,5 f x ,   0,5 h 0,5 d x

= ∫ 0,3 0,5 6 x 3 1 - 0,5 2 d x

= ∫ 0,3 0,5 8 x d x

= 8 x 2 2 0,3 0,5

P 0,3 < X < 0,5 Y = 0,5 = 0,64

Resposta

(a) As variáveis não são independentes.

(b) 0,64

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