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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 61

Determine se as duas variáveis aleatórias do Exercício 3.44 são independentes ou não.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. No Exercício 3.44 nos foi dada a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta:

f x , y = 3 3920000 x 2 + y 2 ,                 30 ≤ x < 50 ,         30 ≤ y < 50 0 ,                                                                                                     c a s o   c o n t r á r i o

E as variáveis X e Y são independentes se respeitarem a igualdade abaixo:

f x ,   y = g x h ( y )

Valendo para todos os valores de x e y que as variáveis podem assumir.

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

Calculando a distribuição marginal da variável aleatória X :

g x = ∫ y f ( x , y ) d y

= ∫ 30 50 3 3920000 x 2 + y 2 d y

= 3 392000 x 2 y + y 3 3 30 50

= 3 392000 50 x 2 + 50 3 3 - 30 x 2 - 30 3 3

                                                            g x = 3 x 2 196000 + 1 40                           30 ≤ x < 50

Calculando a distribuição marginal da variável aleatória Y :

h y = ∫ x f ( x , y ) d x

= ∫ 30 50 3 3920000 x 2 + y 2 d y

= 3 392000 x y 2 + x 3 3 30 50

= 3 392000 50 y 2 + 50 3 3 - 30 y 2 - 30 3 3

                                                            h y = 3 y 2 196000 + 1 40                           30 ≤ y < 50

Verificando a identidade:

f x , y = 3 3920000 x 2 + y 2 ≠ 3 x 2 196000 + 1 40 3 y 2 196000 + 1 40 = g x h ( y )

Então, podemos concluir que as variáveis não são independentes.

Resposta

As variáveis não são independentes.

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