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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 62

A densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X , Y e Z é

f x ,   y ,   z = 4 x y z 2 9 ,             0 < x ,   y > 1 ;     0 < z < 3 0 ,                                                               c a s o   c o n t r á r i o

Determine

(a) a função de densidade marginal conjunta de Y   e Z ;

(b) a densidade marginal de Y ;

(c) P ( 1 4 < X < 1 2 , Y > 1 3 ,   1 < Z < 2 ) ;

(d) P ( 0 < X < 1 2 | Y = 1 4 ,   Z < 2 ) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A densidade marginal é calculada com a seguinte fórmula:

g y ,   z = ∫ x f ( x ,   y ,   z ) d x

Sendo aplicada sobre o intervalo da variável que não faz parte da função de interesse. Por isso, na letra (b), temos que fazer uma integral dupla.

h y = ∫ x ∫ z f ( x ,   y ,   z ) d z d x

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

Calculando a distribuição marginal das variáveis aleatórias Y e Z :

g y ,   z = ∫ x f ( x , y ) d x

= ∫ 0 1 4 x y z 2 9 d y

= 4 9 x 2 y z 2 2 0 1

g y ,   z = 2 y z 2 9

Passo 3

Calculando a distribuição marginal da variável aleatória Y :

h y = ∫ x ∫ z f x ,   y ,   z d z d x

= ∫ 0 1 ∫ 0 3 4 x y z 2 9 d z d x

= 4 9 ∫ 0 1 x y z 3 3 0 3 d x

= 4 ∫ 0 1 x y d x

= 4 x 2 y 2 0 1

h ( y ) = 2 y

Passo 4

Agora, vamos calcular as probabilidades que o enunciado pediu:

P 1 4 < X < 1 2 , Y > 1 3 ,   1 < Z < 2 = ∫ 1 / 4 1 / 2 ∫ 1 / 3 ∞ ∫ 1 2 f ( x , y , z ) d x d y d x

= ∫ 1 / 4 1 / 2 ∫ 1 / 3 1 ∫ 1 2 4 x y z 2 9 d z d y d x

= 4 9 ∫ 1 / 4 1 / 2 ∫ 1 / 3 1 x y z 3 3 1 2 d y d x

= 28 27 ∫ 1 / 4 1 / 2 ∫ 1 / 3 1 x y d y d x

= 28 27 ∫ 1 / 4 1 / 2 x y 2 2 1 / 3 1 d x

= 112 243 ∫ 1 / 4 1 / 2 x d x

= 112 243 x 2 2 1 / 4 1 / 2

= 14 243 - 7 486

P 1 4 < X < 1 2 , Y > 1 3 ,   1 < Z < 2 = 7 162

Passo 5

Por fim, para encontrarmos última probabilidade, é necessário usarmos a fórmula da distribuição condicional:

P X = x Y = y ,   Z = z = f x y ,   z = f ( x ,   y ,   z ) g ( y ,   z )

Para o nosso exemplo, temos o seguinte:

P ( 0 < X < 1 2 | Y = 1 4 ,   Z = 2 ) = ∫ 0 1 / 2 f x 1 4 ,   2 d x

= ∫ 0 1 / 2 f x , 1 4 , 2 g 1 4 , 2 d x

Aqui, nós vamos usar a fórmula que calculamos na letra (a).

= ∫ 0 1 / 2 4 x 1 4 2 2 9 2 1 4 2 2 9 d x

= ∫ 0 1 / 2 2 x d x

= 2 x 2 2 0 1 / 2

= 1 2 2 - 0 2

P ( 0 < X < 1 2 | Y = 1 4 ,   Z = 2 ) = 1 4

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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