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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 68

Considere as variáveis aleatórias X   e Y com função de densidade conjunta

f x ,   y = x + y ,               0 ≤ x ,   y ≤ 1 0 ,                   c a s o   c o n t r á r i o

(a) Determine as distribuições marginais de X e Y .

(b) Determine P ( X > 0,5 ,   Y > 0,5 ) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. As distribuições marginais são definidas abaixo.

Para a variável aleatória X , temos a fórmula:

g x = ∫ y f ( x ,   y ) d y

E para a variável aleatória Y :

h y = ∫ x f ( x ,   y ) d x

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Encontrando a distribuição marginal da variável X :

g x = ∫ x f ( x ,   y ) d x

= ∫ 0 1 x + y d y

= x y + y 2 2 0 1

g ( x ) = x + 1 2

Para a variável Y :

h y = ∫ x f ( x ,   y ) d x

= ∫ 0 1 x + y d y

= x 2 2 + x y 0 1

g ( x ) = 1 2 + y

Passo 3

Para encontramos a probabilidade, como são variáveis contínua, temos que integrar a função nos intervalos dados:

P X > 0,5 ,   Y > 0,5 = P ( 0,5 < X < 1 ,   0,5 < Y < 1 )

= ∫ 0,5 1 ∫ 0,5 1 f ( x ,   y ) d y d x

= ∫ 0,5 1 ∫ 0,5 1 ( x + y ) d y d x

= ∫ 0,5 1 x y + y 2 2 0,5 1 d x

= ∫ 0,5 1 x + 1 2 - 0,5 x - 0,5 2 2 d x

= ∫ 0,5 1 x 2 + 3 8 d x

= x 2 4 + 3 x 8 0,5 1

= 1 4 + 3 8 - 0,5 2 4 + 3 0,5 8

P X > 0,5 ,   Y > 0,5 = 3 8

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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