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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 13

A função de densidade das medidas codificadas do afastamento das roscas de um ajuste é

f x = 4 π ( 1 + x 2 ) ,     0 < x < 1 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o

Determine o valor esperado de X.

Passo 1

EITA, parece que temos um probleminha pela frente!

Estamos de frente de um problema de valor esperado, e uma variável aleatória X, continua, logo precisaremos usar integração, mas muita calma, vai dar tudo certo!

Vamos relembrar a fórmula:

E X = ∫ - ∞ ∞ x f x d x

Passo 2

Agora que temos uma ideia do que faremos, e o que vamos usar para isso, vamos definir todos os nossos parâmetros na integral.

Primeiro, vamos dividir a integral em três intervalos, para facilitar nossa observação.

E X = ∫ - ∞ 0 x f x d x + ∫ 0 1 x f x d x + ∫ 1 ∞ x f x d x

Agora, vamos analisar f ( x ) em todos esses intervalos e substituir os valores.

E X = ∫ - ∞ 0 0 x d x + ∫ 0 1 x 4 π ( 1 + x 2 d x + ∫ 1 ∞ 0 x d x

Show, agora é só resolver essa integral!

Passo 3

E X = ∫ 0 1 x 4 π ( 1 + x 2 d x = 4 π ∫ 0 1 x 1 + x 2 d x

Para resolvermos essa integral, usaremos substituição u = 1 + x 2 e d u = 2 x d x

Trabalhando com a integral com a nossa nova variável u , temos:

E X = 4 π ∫ 1 2 1 2 u d u = 2 π ∫ 1 2 1 u d u = 2 π ln ⁡ 2 - l n ⁡ ( 1 ) = 2 π l n ⁡ ( 2 )

Passando o 2 para dentro do ln, temos:

E X = l n ⁡ ( 4 ) π

Resposta

o valor esperado de X é l n ⁡ ( 4 ) π .

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