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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 20

Uma variável aleatória contínua X tem função de densidade

f x = { e - x ,     x > 0   0 ,     c a s o   c o n t r á r i o .  

Determine o valor esperado de g X = e 2 X 3 .

Passo 1

Essa questão costuma assustar!

Temos variável contínua, função definida por chaves e uma exponencial no mesmo exercício. Essa aqui é tenebrosa...

MAS, nós vamos resolver, vamos na CALMA!

Primeiro devemos lembrar da fórmula do valor esperado para funções, e variáveis contínuas.

E g x = ∫ - ∞ ∞ g x f x d x

Passo 2

Agora que finalmente temos a fórmula que vamos usar, vamos buscar todos os seus termos.

Primeiro analisaremos f ( x ) para tal, dividiremos a integral em 3 intervalos, pois facilitará nossas contas.

E g x = ∫ - ∞ 0 g x f x d x + ∫ 0 ∞ g x f x d x

Pela fórmula que nos é dada, concluímos que f ( x )   só é diferente de zero, no intervalo 0 < x < ∞ .

Logo, ficamos com a seguinte integral.

E X = ∫ 0 ∞ g x f x d x

Passo 3

Neste último passo iremos substituir os valores e calcular a integral.

E X = ∫ 0 ∞ e 2 x 3 e - x d x = ∫ 0 ∞ e - x 3 d x

Esses extremos não parecem agradáveis, então vamos calcular a integral indefinida e depois calcular os limites para concluirmos o exercício.

∫ e - x 3 d x = - 3 e - x 3 + c

A constante irá se cancelar nas contas, então pouco importa.

Calculando nos limites, temos:

∫ 0 ∞ e - x 3 d x = 0 - - 3 = 3

Resposta

valor esperado de g X   é   3 .

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