Num inquérito com os telespectadores de televisão de uma cidade, 60 de 200 homens desaprovam certo programa, acontecendo o mesmo com 75 de 300 mulheres. Ao nível de 10%, há uma diferença real entre as opiniões de homens e mulheres?

Passo 1

Olá galerinha, vamos resolver este exercício de acordo com o passo a passo dos testes de hipóteses.

Então primeiramente iremos definir nossa hipótese nula ( H 0 ) e alternativa ( H a ):

  • H 0 :   p 1 = p 2 ;
  • H a :   p 1 ≠ p 2 .

Queremos testar essa hipótese para α = 0 , 10 . Além disso sabemos que nosso teste é bilateral e como queremos testar a proporção iremos utilizar a variável normal padronizada ( z ):

Para este teste temos a seguinte equação:

z = f 1 - f 2 p ' ∙ ( 1 - p ' ) ∙ 1 n 1 + 1 n 2

Onde p ' é a média ponderada das proporções amostrais:

p ' = n 1 ∙ f 1 + n 2 ∙ f 2 n 1 + n 2

Passo 2

Então pela tabela da distribuição normal conseguimos definir a nossa região crítica:

z c = 1 , 645

  • Se - 1,6 45 < z < 1,6 45 aceita H 0 ;
  • Se z > 1,6 45 rejeita H 0 .

Passo 3

Do enunciado temos:

  • x 1 = 60 ;
  • n 1 = 2 00 ;
  • x 2 = 75 ;
  • n 2 = 300 .

Então temos as seguintes proporções amostrais ( f 1 e f 2 ):

f 1 = 60 20 0 = 0 , 30

f 2 = 7 5 3 0 0 = 0 , 2 5

E a média ponderada dessas proporções:

p ' = 2 0 0 ∙ 0 , 3 0 + 3 00 ∙ 0 , 2 5 2 0 0 + 3 00 = 0 , 27

Então conseguimos calcular o valor de z para compararmos com o z crítico ( z c ):

z = 0 , 30 - 0 , 25 0 , 27 ∙ ( 1 - 0 , 27 ) ∙ 1 2 0 0 + 1 3 00 = 1 , 23

Como - 1,645 < z < 1,645 , então aceitamos H 0 e concluímos que ao nível de 10%, não há diferença entre as opiniões de homens e mulheres.

Tchau pessoal, até mais!

Resposta

z = 1 , 23 aceita H 0 .

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