Enunciado

Um investigador deseja obter um IC para a diferença entre a tensão de ruptura média real dos cabos fabricados pela empresa I e pela empresa II. Suponha que a tensão de ruptura seja normalmente distribuída para ambos os tipos de cabo com 30 psi e 20 psi.

a. Se os custos determinarem que o tamanho da amostra para o cabo tipo I deve ser três vezes o tamanho da amostra para o cabo tipo II, quantas observações são necessárias se o IC de 99% não for maior que 20 psi? b. Suponha que será feito um total de 400 observações. Quantas observações devem ser feitas sobre as amotras do cabo tipo I se a amplitude do intervalo resultante for mínima?

Passo 1

  1. Para m,n suficientemente grande, intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 com nível de confiança de aproximadamente 100 ( 1 - α ) % é

    x - - x - ± z α 2 ∙ s 1 2 m + s 2 2 n

    Onde + e - forneça o limite superior/inferior adequado do intervalo. Substituindo z α 2

    por z α   e ± com apenas + e − um limite superior/inferior é obtido.

    A suposição de normalidade indica que o IC mencionado precisa ser usado. A largura do intervalo é

    w =   x - - y - + z α 2 ∙ s 1 2 m + s 2 2 n - ( x - - y - - z α 2 s 1 2 m + s 2 2 n

    = 2 ∙ z α 2 s 1 2 m + s 2 2 n

    Para o intervalo de confiança de 99% α = 0.01 ; z α 2 = z 0.01 2 = 2.58 .

    Passo 2

    A largura necessária é 20; por isso

    w = 2 ∙ z α 2 s 1 2 m + s 2 2 n

    20 = 2 ∙ 2.58 ∙ 30 2 3 n + 20 2 n

    3.876 =   30 2 3 n + 20 2 n

    900 + 400 ∙ 3 3 n = 15.023

    3 n = 139.78

    n = 46.6

    o que significa que o tamanho de amostra necessário é

    n = 47

    E para a amostra I é m=3n

    m = 141

  2. É necessário minimizar a largura

w = 2 ∙ z α 2 s 1 2 m + s 2 2 n

No entanto, como o total de 400 observações deve ser feito, um tamanho de amostra é n e o outro é 400 - n (o que totaliza 400 - n + n = 400 ).

Para minimizar a largura w, observe w como uma função do tamanho da amostra n. Para minimizar a função w, o seguinte precisa ser minimizado

f n = s 1 2 400 - n + s 2 2 n

porque m=400-n e largura

w = 2 ∙ z α 2 s 1 2 400 - n + s 2 2 n

Derivando f(n) em relação a n e igualando a 0, a largura será minimizada; portanto

f ' n = 900 400 - n + 400 n ' = 900 ∙ 1 400 - n 2 - 400 ∙ 1 n 2

f ' n = 0 ;

0 = 900 ∙ 1 400 - n 2 - 400 ∙ 1 n 2

Passo 2

Isso rende

9 n 2 = 4 400 - n 2

9 n 2 = 4 400 2 - 2 ∙ 400 ∙ n + n 2

Ou

5 n 2 + 3200 n - 640000 = 0

Resolvendo e tomando apenas o valor positivo

m = 400 - x 1 = 400 - 160 = 240

Resposta

  1. n = 4 7
  2. m = 141
  3. n = 160
  4. m = 240

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