Enunciado
Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 9.Exercícios Suplementares - Ex. 83
Um investigador deseja obter um IC para a diferença entre a tensão de ruptura média real dos cabos fabricados pela empresa I e pela empresa II. Suponha que a tensão de ruptura seja normalmente distribuída para ambos os tipos de cabo com 30 psi e 20 psi.
a. Se os custos determinarem que o tamanho da amostra para o cabo tipo I deve ser três vezes o tamanho da amostra para o cabo tipo II, quantas observações são necessárias se o IC de 99% não for maior que 20 psi? b. Suponha que será feito um total de 400 observações. Quantas observações devem ser feitas sobre as amotras do cabo tipo I se a amplitude do intervalo resultante for mínima?
Passo 1
-
Para m,n suficientemente grande, intervalo de confiança para com nível de confiança de aproximadamente é
Onde + e - forneça o limite superior/inferior adequado do intervalo. Substituindo
por e ± com apenas + e − um limite superior/inferior é obtido.
A suposição de normalidade indica que o IC mencionado precisa ser usado. A largura do intervalo é
Para o intervalo de confiança de 99% .
Passo 2
A largura necessária é 20; por isso
o que significa que o tamanho de amostra necessário é
E para a amostra I é m=3n
- É necessário minimizar a largura
No entanto, como o total de 400 observações deve ser feito, um tamanho de amostra é n e o outro é (o que totaliza ).
Para minimizar a largura w, observe w como uma função do tamanho da amostra n. Para minimizar a função w, o seguinte precisa ser minimizado
porque m=400-n e largura
Derivando f(n) em relação a n e igualando a 0, a largura será minimizada; portanto
Passo 2
Isso rende
Ou
Resolvendo e tomando apenas o valor positivo