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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 13

Lembre-se de que ˆ 0 ˆ 1x tem uma distribuição normal, com valor esperado 0 1x e variância de modo que tem uma distribuição normal padronizada. Se S SQE/(n2) for substituída por , a variável resultante terá uma distribuição t com n 2 gl. Por analogia, qual é a distribuição de qualquer resíduo padronizado? Se n 25, qual é a probabilidade de um determinado resíduo padronizado ficar fora do intervalo (2,50; 2,50)?

Passo 1

Seja x * ser um valor fixo de x. Para a variável aleatória

Y ^ = β ^ 0 + β ^ 1 x *

vale o seguinte:

A média da variável aleatória   Y ^ é

E Y ^ = E β ^ 0 + β ^ 1 x *   =   β 0 + β 1 x *

o que significa que   Y ^ é um estimador imparcial para   β 0 + β 1 x * .

A variância da variável aleatória   Y ^ é

O desvio padrão é a raiz quadrada da expressão. Ao substituir (estimar) σ por s você obtém a estimativa da variância e/ou desvio padrão da variável aleatória   Y ^ .

Variável aleatória   Y ^ tem distribuição normal.

Os residuais dados por

são os resíduos padronizados.

O desvio padrão do resíduo   Y i - Y ^ i é

Passo 2

A distribuição de resíduos padronizados é uma distribuição t com n-2 graus de liberdade, em analogia com as informações fornecidas no exercício.

Quando n=25, E i * (variável aleatória) tem distribuição t com 25-2=23 graus de liberdade. A probabilidade de que o resíduo caia fora do intervalo

- 2.50 ,   2.50

É

P E i * ≤   - 2.50 + P E i * ≥ 2.50 = 2 P E i * ≥ 2.50 = 2 ∙ 0.01 = 0.02

Uma tabela no apêndice foi usada para calcular os valores de t.

Resposta

Uma distribuição t com n-2 graus de liberdade; a probabilidade é 0.02

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