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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 21

Qual é o lucro médio de um revendedor, por automóvel, se o lucro em cada automóvel é dado por g ( X ) =   X 2 , onde X é a variável aleatória que tem a função de densidade do Exercício 4.12?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Nesse exercício queremos o valor esperado de uma função, matematicamente falando:

Queremos: E ( g X )

Antes vamos relembrar que o lucro de um revendedor em unidades de $ 5.000 é dado por:

f x = {   2 ( 1 - x ) ,     0 < x < 1   0 ,     c a s o   c o n t r á r i o      

Passo 2

Show, com tudo isso enunciado, podemos relembrar que:

E g x = ∫ - ∞ ∞ g x f x d x

Vamos dividir essa integral em 3 integrais menores para ficar mais fácil de estudar, assim:

E g x = ∫ - ∞ 0 g x 0 d x + ∫ 0 1 g x 2 ( 1 - x ) d x + ∫ 1 ∞ g x 0 d x

Ficamos com:

E g x = ∫ 0 1 2 x 2 1 - x d x = ∫ 0 1 2 x 2 d x - ∫ 0 1 2 x 3 d x

Resolvendo essas integrais, temos:

E g x = 2 x 3 3 | 1 0 - 2 x 4 4 | 1 0 = 1 6

Logo, o lucro médio de um revendedor, por automóvel é 1 6 $ 5.000 = $ 833,33

Resposta

O lucro médio de um revendedor, por automóvel é $ 833,33 .

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