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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 20

Dada uma distribuição uniforme contínua, mostre que

a)   μ = A + B 2

b) σ 2 = ( B - A ) 12 2

Passo 1

Fala galera, vamos resolver mais um exercício? Vem comigo.

Vamos demonstrar primeiro o item a)

Para isso lembremos que a função densidade da variável aleatória contínua uniforme X no intervalo A , B é

f x ; A , B = 1 B - A ,     A ≤ x ≤ B 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Além disso, lembremos que a média μ para variáveis continuas é dada pela seguinte expressão

μ = ∫ - ∞ ∞ x f x d x

Onde f ( x ) é a nossa função densidade de probabilidade, aplicando essa fórmula, temos:

μ = ∫ - ∞ ∞ x 1 B - A d x = ∫ - ∞ A 0 x d x + ∫ A B x 1 B - A d x + ∫ B ∞ 0 x d x

Logo,

μ = ∫ A B x 1 B - A d x = B 2 - A 2 2 ( B - A ) = A + B 2

Passo 2

Agora vamos demonstrar o item b

Para isso usaremos dos seguintes fatos:

  1. A função densidade da variável aleatória contínua uniforme X no intervalo A , B é

    2. f x ; A , B = 1 B - A ,     A ≤ x ≤ B 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

  2. σ 2 = E X 2 - ( E X ) 2

Show! Vamos a prova.

Calculando primeiro E X 2 , temos:

Usando o processo semelhante ao do item a), temos:

E X 2 = ∫ A B x 2 B - A d x = B 3 - A 3 3 ( B - A )

Logo,

σ 2 = B 3 - A 3 3 ( B - A ) - A + B 2 2 = 4 B 3 + A B + A 2 - 3 B 2 + 2 A B + A 2 12 = B - A 12 2

Resposta

Demonstrações nos passos acima.

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