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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios Suplementares - Ex. 34

A média dos erros quadráticos de um estimador θ ˆ é M S E ⁡ ( θ ˆ ) = E ( θ ˆ - θ ) 2 . Se θ ˆ é não-tendencioso, então M S E ⁡ ( θ ˆ ) = V ( θ ˆ ) , mas em geral M S E ⁡ ( θ ˆ ) = V ( θ ˆ ) + (  desvio  ) 2 . Considere o estimador σ ˆ 2 = K S 2 , em que S 2 = variância da amostra. Que valor de K minimiza a média dos erros quadráticos desse estimador quando a distribuição da população é normal? [Sugestāo: pode-se mostrar que

E S 2 2 = ( n + 1 ) σ 4 / ( n - 1 )

Em geral, é difícil achar que θ ˆ minimiza M S E ⁡ ( θ ˆ ) , motivo pelo qual olhamos somente para estimadores não tendenciosos e minimizamos V ( θ ˆ ) .]

Passo 1

M S E ⁡ K S 2 = V a r ⁡ K S 2 + B i a s ⁡ K S 2 B i a s ⁡ K S 2 = E K S 2 - σ 2 = K σ 2 - σ 2 = σ 2 ( K - 1 ) , e V a r ⁡ K S 2 = K 2 V a r ⁡ S 2 = K 2 E S 2 2 - E S 2 2 = K 2 ( n + 1 ) σ 4 n - 1 - σ 2 2

= 2 K 2 n - 1 + ( k - 1 ) 2 σ 4 . Para encontrar o valor mínimo de K, tome d/dK e iguale a 0 ; o resultado é K=(n-1)/(n+1); assim, o estimador que minimiza o MSE não é o estimador imparcial (K=1) nem o mle K=(n-1)/n.

Resposta

K=(n-1)/n.

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