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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios Suplementares - Ex. 31

Um estimador θ é dito ser consistente se para qualquer ϵ ˆ > 0 , P ( | θ ˆ - θ | ≥ ϵ ) ↔ 0 quando n ↔ ∞ . Isto é, θ ˆ é consistente se, à medida que o tamanho da amostra aumenta, menor é a probabilidade de θ ˆ ser maior que ϵ a partir do valor real de θ . Mostre que X ‾ é um estimador consistente de μ quando σ 2 < ∞ usando a desigualdade de Chebyshev do Exercício 43, do Capítulo 3. (Sugestāo: a desigualdade pode ser reescrita na forma

P Y - μ Y ≥ ϵ ≤ σ Y 2 / ϵ

Agora, identifique Y c o m ⁡ X ‾ .

Passo 1

Oiii tudo certo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?!

P ( | X ‾ - μ | > ε ) = P ( X ‾ - μ > ε ) + P ( X ‾ - μ < -   = P X ‾ - μ σ / n > ε σ / n + P X ‾ - μ σ / n < - ε σ / n

= P Z > n ε σ + P Z < - n ε σ = ∫ n ε / σ ∞   1 2 π e - z 2 / 2 d z + ∫ - ∞ - n ε / σ   1 2 π e - z 2 / 2 d z

Como  n → ∞ , ambas integrais  → 0  uma vez que  l i m c → ∞   ∫ c ∞   1 2 π e - z 2 / 2 d z = 0 .

E foi isso, vamos pra próxima 😊

Resposta

l i m c → ∞   ∫ c ∞   1 2 π e - z 2 / 2 d z = 0 .

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