Enunciado

a. Seja X 1 , … , X n a amostra aleatória de uma distribuição uniforme em [ 0 , θ ] Então, a emv de θ é θ ˆ = Y = m a x X i . Use o fato de Y ≤ y se e somente se cada X i ≤ y para encontrar a fdc de Y . Então, mostre que a fdp de Y = m a x X i é

f Y ( y ) = n y n - 1 θ n 0 ≤ y ≤ θ 0  caso contrário 

b. Use o resultado da parte (a) para mostrar que a emv é tendenciosa, mas que ( n + 1 ) m a x X i / n é não-tendenciosa.

Passo 1

a. F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P X 1 ≤ y , … , X n ≤ y = P X 1 ≤ y … P X n ≤ y = y θ n

para 0 ≤ y ≤ θ , então f Y ( y ) = n y n - 1 θ n

Passo 2

b. E ( Y ) = ∫ 0 θ   y ⋅ n y n - 1 n d y = n n + 1 θ . Enquanto θ ˆ = Y não é imparcial, n + 1 n Y é, uma vez que E n + 1 n Y = n + 1 n E ( Y ) = n + 1 n ⋅ n n + 1 θ = θ , então K = n + 1 n faz o truque.

Resposta

a . f Y ( y ) = n y n - 1 θ n

b. K = n + 1 n faz o truque.

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