Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 51
Em um modelo de efeitos fixos, suponha que existam observações para cada um dos quatro experimentos. Sejam , e as somas dos quadrados, com graus de liberdade iguais a um, para contrastes ortogonais. Um contraste é uma combinação linear das médias dos tratamentos, com coeficientes que somam zero. Os vetores dos coeficientes de contrastes ortogonais são vetores ortogonais. Prove que .
Passo 1
Bom galera, O número de tratamentos é igual a quatro e consideramos um espaço quadridimensional. A distância quadrada da origem até o ponto é dada pela soma dos quadrados de suas coordenadas.
Note que cada contraste ortogonal também é ortogonal à linha de , ou seja, a linha com o vetor direção , pois seus coeficientes somam zero. Assim, em vez de eixos padrão, podemos pegar os quatro seguintes: Uma linha de e três contrastes ortogonais.
Passo 2
Belezainha, denotamos os contrastes ortogonais como , . A equação para o quadrado da distancia entre a origem ao ponto é dado pela soma de quadrados pelo produto do vetor com a unidade vetorial de novos eixos.
Desenvolvendo o ultimo termo da equação:
Onde é o total.
Passo 3
Show de bola, agora a gente divide ambas as equações por , usando o fator .