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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 56

Considere o modelo de efeitos fixos do planejamento completamente aleatorizado com único fator. Os parâmetros do modelo são limitados pela restrição ∑ i = 1 a τ 1 = 0 (Na verdade, outras restrições poderiam ser usadas, porém essa é simples e resulta em estimativas intuitivamente boas para os parâmetros do modelo.) Para o caso de tamanhos desiguais da amostra, n 1 , n 2 , ..., n a , a restrição é ∑ i _ = 1 a n i τ 1 = 0 . Use isso para mostrar que

E M Q T r a t a m e n t o s = σ 2 + ∑ i = 1 a n i τ i 2 a - 1

Isso sugere que a hipótese nula nesse modelo seja H 0 : n 1 τ 1 = n 2 τ 2 = … = n a τ a = 0 ?

Passo 1

Bom galera, o modelo linear relativo ao modelo de efeitos fixos é

Y i j = μ + τ i + ε i j i = 1,2 , … , a j = 1,2 , … , n i

Onde Y i j é uma variável aleatória na observação i j , μ é um parâmetro comum a todos os tratamentos chamados de média geral, τ i é um parâmetro associado ao efeito do tratamento i e ε i j é um componente de erro aleatório. Nós podemos assumir que os erros ε i j são distribuídos normalmente e independentemente com média zero e variância σ 2 . Temos N que mostra o número total de observações, isso é:

∑ i = 1 a n i = N

Passo 2

Beleza, agora vamos usar y - i . para representar a média das observações sobre o tratamento i e com y - . . representamos a média total das observações. Vamos considerar as duas médias:

∑ j = 1 n i y i j = ∑ j = 1 n i ( μ + τ i + ε i j )

→ y i . = n i μ + n i τ i + ∑ j = 1 n i ε i j

→ y i . n i = μ + τ i + 1 n i ∑ j = 1 n i ε i j

→ y - i . = μ + τ i + ε - i .

E:

∑ i = 1 a ∑ j = 1 a y i j = ∑ i = 1 a ∑ j = 1 n i ( μ + τ i + ε i j )  

→ y . . = ∑ i = 1 a n i μ + n i τ i ∑ j = 1 a ε i j

→ y . . = N μ + ∑ i = 1 a n i τ i + ∑ i = 1 a ∑ j = 1 a ε i j d e s d e   q u e   ∑ i = 1 a n i = N

→ y . . = N μ + 0 + ∑ i = 1 a ∑ j = 1 a ε i j d e s d e   q u e   ∑ i = 1 a n i τ i = 0

→ y . . N = μ + 1 N ∑ i = 1 a ∑ j = 1 n i ε i j

→ y - . . = μ + ε - . .

Passo 3

Show de bola, a soma dos quadrados dos desvios dos tratamentos é dado por:

S S T r a t a m e n t o s = ∑ i = 1 a n i y - i . - y - . . 2

Vamos simplificar a soma dos quadrados assim:

S S T r a t a m e n t o s = ∑ i = 1 a n i y - i . - y - . . 2

= ∑ i = 1 a n i μ + τ i + ε i . - ( μ + ε - . . ) 2

= ∑ i = 1 a n i τ i + ε - i . - ε - . . 2

= ∑ i = 1 a n i τ i 2 + 2 τ i ( ε - i . - ε - . . ) + ( ε - i . - ε - . . ) 2

= ∑ i = 1 a n i τ i 2 + 2 ∑ i = 1 a n i τ i ( ε - i . - ε - . . ) + ∑ i = 1 a ( ε - i . - ε - . . )

Passo 4

Vamos desenvolver ambos os lados, assim nós temos:

E ( S S T r a t a m e n t o s ) = ∑ i = 1 a n i τ i 2 + 2 ∑ i = 1 a n i τ i E ( ε - i . - ε - . . ) + E ∑ i = 1 a n i ( ε - i . - ε - . . )

= ∑ i = 1 a n i τ i 2 + 2 ∑ i = 1 a n i τ i 0 + E ∑ i = 1 a n i ε - i . 2 - 2 ε - i . ε - . . + ε - . . 2

= ∑ i = 1 a n i τ i 2 + 0 + E ∑ i = 1 a n i ε - i . 2 - 2 ε - . . ∑ i n i ε - i . + ∑ i n i ε - . . 2

= ∑ i = 1 a n i τ i 2 + E ∑ i = 1 a n i ε - i . 2 - 2 ε - . . N ε - . . + N ε - . . 2

= ∑ i = 1 a n i τ i 2 + E ∑ i = 1 a n i ε - i . 2 - N ε - . . 2

= ∑ i = 1 a n i τ i 2 + ∑ i = 1 a n i E ε - i . 2 - N E ε . . 2

Nós sabemos que ε i j são distribuídos normalmente e independentemente com média zero e variância σ 2 , assim nós temos:

E ε i . 2 = V ε - . . 2

= σ 2 N

Assim ficamos com:

E S S T r a t a m e n t o s = ∑ i = 1 a n i τ i 2 + ∑ i = 1 a n 1 σ n i - N σ 2 N

= ∑ i = 1 a n i τ i 2 + ∑ i = 1 a σ 2 - σ 2

= ∑ i = 1 a n i τ i 2 + a σ 2 - σ 2

= ∑ i = 1 a n i τ i 2 + a - 1 σ 2

Passo 5

Assim, o valor esperado do quadrado médio devido aos tratamentos é dado por:

E M S T r a t a m e n t o s = E S S T r a t a m e n t o s a - 1

= E ( S S T r a t a m e n t o s ) a - 1

= ∑ i = 1 a n i τ i 2 + a - 1 σ 2 a - 1

= 1 a - 1 ∑ i = 1 a n i τ i 2 + σ 2

Resposta

1 a - 1 ∑ i = 1 a n i τ i 2 + σ 2

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