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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 33

A caixa I contém uma bola vermelha e uma azul, equanto que a caixa II contém duas bolas vermelhas e uma azul. Um experimento consiste em escolher uma bola ao acaso da caixa I e passar para a caixa II e, em seguida, escolher uma bola da II e passar para a I. Sejam X e Y os números de bolas vermelhas nas caixas I e II, respectivamente.

a) Calcule a conjunta de X e Y . Elas são indendentes?

b) Comente o que ocorre com a variável X + Y .

c) Determine a média e a variância para cada uma das variáveis X e Y .

Passo 1

Ao todo, temos 5 bolas, 3 vermelhas e 2 azuis. Na caixa I temos duas bolas, e as demais ficam na caixa II. Com isso, temos três situações possíveis:

Vamos calcular a probabilidade de cada situação. Primeiro, vamos calcular de quantas formas podemos escolher duas bolas tendo cinco disponíveis:

C 5 ,   2 = 5 ! 3 !   2 ! = 10

Na situação 1, existe uma única forma de escolher duas bolas azuis entre as duas bolas azuis disponíveis:

P 1 = 1 10

Na situação 2, temos que escolher uma bola azul entre duas e uma vermelha entre três:

C 2,1 ⋅ C 3,1 = 2 ⋅ 3 = 6 ⇒ P 2 = 6 10 = 3 5

Por fim, na situação 3, temos que escolher duas bolas vermelhas entre três:

C 3 ,   2 = 3 ⇒ P 3 = 3 10

Note que

P 1 + P 2 + P 3 = 1 10 + 6 10 + 3 10 = 10 10 = 1

Com isso, podemos construir a tabela de frequências:

Com isso, fica fácil montar a tabela conjunta:

Observe que as variáveis X e Y são altamente dependentes, pois devemos ter sempre

X + Y = t o t a l   b o l a s   v e r m e l h a s

Assim,

X + Y = 3

Conhecendo uma das variáveis, sempre conhecemos a outra. Além disso, conforme X aumenta, Y diminui, então a covariância deve ser negativa!

Note que com o que fizemos nesse passo, já resolvemos os itens (a) e (b).

Passo 2

Da distribuição conjunta, podemos tirar as distribuições marginais:

P X = 0 = 1 10 ,             P X = 1 = 6 10               e             P X = 2 = 3 10

P Y = 1 = 3 10 ,           P Y = 2 = 6 10               e           P Y = 3 = 1 10

Com isso podemos calcular as médias:

E X = 0 ⋅ P X = 0 + 1 ⋅ P X = 1 + 2 ⋅ P X = 2

E X = 0 + 1 ⋅ 6 10 + 2 ⋅ 3 10 = 6 5

Da mesma forma,

E Y = 1 ⋅ P Y = 1 + 2 ⋅ P Y = 2 + 3 ⋅ P Y = 3

E Y = 1 ⋅ 3 10 + 2 ⋅ 6 10 + 3 ⋅ 1 10 = 9 5

Passo 3

Para calcular a covariância, precisamos achar o valor esperado de X Y . Da tabela de frequências, temos que

Portanto,

P X Y = 0 = 1 10             e             P X Y = 2 = 6 10 + 3 10 = 9 10

Logo,

E X Y = 0 ⋅ P X Y = 0 + 2 ⋅ P X Y = 2 = 0 + 2 ⋅ 9 10 = 9 5

Com isso, podemos calcular a covariância:

C o v X ,   Y = E X Y - E X E ( Y )

C o v X ,   Y = 9 5 - 6 5 ⋅ 9 5 = - 45 5 = - 9

Resposta

E X = 6 5

E Y = 9 5

C o v X ,   Y = - 9

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