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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 16

Mostre que o r-ésima momento em torna da origem da distribuição gama é

> p r T ( a + r )

}i' = r(a)

[Sugestão: Substituay = x/p na integral que define ji'r

e, então, use a função gama para avaliar a integral.]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A função densidade de probabilidade de uma distribuição gama com dois parâmetros α e β é,

f ( x ; α , β ) = 1 β α Γ ( α ) x α - 1 e - x / β ,  for  x ≥ 0 0 ,   restante  

Passo 2

O r t h momento sobre a origem da distribuição gama é,

E X r   = μ '   = ∫ 0 ∞     x r f ( x ; α , β ) d x   = ∫ 0 ∞     x r x α - 1 e - x / β β α Γ ( α ) d x   = β α + r Γ ( α + r ) β α Γ ( α ) ∫ 0 ∞     x ( r + α ) - 1 e - x / β β α + r Γ ( α + r ) d x   = β r Γ ( α + r ) β α Γ ( α )

Aqui, ∫ 0 ∞   x ( r + α ) - 1 e - x / β β α + r Γ ( α + r ) d x é uma distribuição gama com dois parâmetros α + r e β . Daí provado.

Resposta

Resposta nos passos.

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