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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 63

Mostre que a probabilidade 1   –   p do Problema 62   pode ser escrita como

1 - p ≈ 1 - 1 + 2 + ⋯ + k - 1 365 = 1 - k - 1 × k 730 ,

para k pequeno. Como ficará P ( A ) neste caso?

Passo 1

No exercício 62 , vimos que:

1 - p = P A C = 365 365 × 364 365   × 363 365   ×   362 365   × ⋯ × 365 - k + 1 365  

⇒ 1 - p = 1 - 1 365 × 1 - 2 365 × ⋯ × 1 - k - 1 365

Desprezando os produtos com denominadores 365 2 ,   365 3 , etc, obtemos:

1 - p ≈ 1 - 1 + 2 + ⋯ + ( k - 1 ) 365

Utilizando a fórmula da Soma dos termos de uma Progressão Aritmética, temos:

1 + 2 + ⋯ + k - 1 = 1 + k - 1 × k - 1 2 = k - 1 × k 2

⇒ 1 - p ≈ 1 - 1 + 2 + ⋯ + k - 1 365 = 1 - k - 1 × k 730

Assim,

P A = k - 1 × k 730 .

Resposta

Assim, concluímos o resultado.

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