Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios propostos - Ex. 16

O número médio de componentes defeituosos por um certo tipo de aparelho eletrônico é de 1,85. Admitindo poder ser empregada a distribuição de Poisson, calcular a probabilidade de:

  1. 1 aparelho apresentar no máximo 2 componentes defeituosos;
  2. 2 aparelhos apresentarem, no total, de 3 a 5 componentes defeituosos;
  3. exatamente 3 aparelhos, de um lote de 5 aparelhos iguais, apresentarem no mínimo 1 componente defeituoso por aparelho;
  4. de 1 a 3 aparelhos, de um lote de 4 aparelhos iguais, apresentarem exatamente 2 componentes defeituosos por aparelho.

Passo 1

Olá pessoal. Vem comigo!

Seja p a probabilidade de ocorrer um sucesso, portanto ( 1 - p ) a probabilidade de ocorrer um insucesso, em cada prova. Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucessos é:

P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Relembrando que a Distribuição de Poisson é aplicável quando o número de possíveis ocorrências discretas é muito maior que o número médio de ocorrências em um determinado intervalo de tempo ou espaço. A expressão de P x para distribuição de Poisson:

P x = μ x x ! ∙ e - μ

Do enunciado sabemos:

μ = 1,85

Para o item a) queremos descobrir a probabilidade de um aparelho apresentar no máximo 2 componentes defeituosos, ou seja P ( x ≤ 2 ) .

  • Para nenhum componente defeituoso:

    • P 0 = μ x x ! ∙ e - μ = 1,85 0 0 ! ∙ e - 1,85 = 0,157

  • Para um componente:

    • P 1 = 1,85 1 1 ! ∙ e - 1,85 = 0,291

  • E para dois componentes:

    • P 2 = 1,85 2 2 ! ∙ e - 1,85 = 0,269

    Portanto a probabilidade de 1 aparelho apresentar no máximo 2 componentes defeituosos, será:

    P x ≤ 2 = P 0 + P 1 + P ( 2 ) = ( 0,157 + 0,291 + 0,269 ) ∙ 100 %

    P x ≤ 2 = 71,7 %

    Passo 2

    No item b) queremos a probabilidade de 2 aparelhos apresentarem, no total, de 3 a 5 componentes defeituosos. Então neste exercício iremos usar a equação:

    P x = λ x x ! ∙ e - λ

    Onde:

  • λ média de eventos em um intervalo de tempo, área ou volume, ou ainda a taxa média de ocorrência por unidade medida

    • Então, para 2 aparelhos:

    λ = 2 ∙ μ = 2 ∙ 1,85 = 3,7

    Sendo assim,

  • com 3 componentes defeituosos:

    • P 3 = 3,7 3 3 ! ∙ e - 3,7 = 0 , 209

  • com 4 componentes:

    • P 4 = 3,7 4 4 ! ∙ e - 3,7 = 0 , 193

  • e com 5 componentes:

    • P 5 = 3,7 5 5 ! ∙ e - 3,7 = 0 , 143

    A probabilidade de 2 aparelhos apresentar de 3 a 5 componentes defeituosos:

    P = P 3 + P 4 + P 5 ∙ 100 % = ( 0 , 209 + 0 , 193 + 0,1 43 ) ∙ 100 %

    P = 54,5 %

    Passo 3

    No item c) precisamos primeiramente saber a probabilidade para no mínimo 1 componente defeituoso. No Passo 1 calculamos o valor para nenhum componente:

    P 0 = 0 , 157

    Então, para no mínimo 1 componente defeituoso:

    P x ≥ 1 = [ 1 - P 0 ] ∙ 100 % = ( 1 - 0,157 ) ∙ 100 %

    P x ≥ 1 = 84,3 %

    Agora iremos calcular a probabilidade de exatamente 3 aparelhos, de um lote de 5 aparelhos iguais, apresentarem no mínimo 1 componente defeituoso:

    • n = 5
    • x = 3
    • p = 0,843
    • q = 1 - 0,843 = 0,157

      • P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

      P x = 3 = 5 ! 3 ! 5 - 3 ! ∙ 0,843 3 ∙ 0,157 5 - 3 = 0,148

      P x = 3 = 14,8 %

      Passo 4

      E por fim, no item d) precisamos da probabilidade de exatamente 2 componentes defeituosos. Que já calculamos no Passo 1:

      P 2 = 0,269

      Então vamos calcular a probabilidade de 1 a 3 aparelhos, de um lote de 4 aparelhos iguais, apresentarem exatamente 2 componentes defeituosos:

    • n = 4
    • x = 1   a   3
    • p = 0,269
    • q = 1 - 0,269 = 0,731

    P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

  • Para 1 aparelho:

    • P 1 = 4 ! 1 ! 4 - 1 ! ∙ 0,269 1 ∙ 0,731 4 - 1 = 0,420

  • Para 2 aparelhos:

    • P 2 = 4 ! 2 ! 4 - 2 ! ∙ 0,269 2 ∙ 0,731 4 - 2 = 0,232

  • E 3 aparelhos:

P 3 = 4 ! 3 ! 4 - 3 ! ∙ 0,269 3 ∙ 0,731 4 - 3 = 0,057

Então:

P = P 1 + P 2 + P ( 3 ) ∙ 100 % = 0,420 + 0,232 + 0,057 ∙ 100 %

P = 70,9 %

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

  1. P x ≤ 2 = 71,7 % ;
  2. P = 54 , 5 % ;
  3. P x = 3 = 14,8 % ;
  4. P = 70,9 % .

Exercícios de Livros Relacionados

Um distribuidor de gasolina tem capacidade de receber, nas condições atuais, no máximo a 3 caminhões por dia; se chegarem mais que 3 caminhões, o excesso deve ser enviado a outro distribuidor e, neste
Para cada 5.000 km rodados em automóvel tem-se em média 1 pneumático furado (ao transitar em estrada pavimentada) e em média 2 pneumáticos furados (ao transitar em estrada não pavimentada). Supondo qu
Foi estabelecido que um certo tipo de máquina apresenta em média 1,8 falhas mecânicas a cada 6 horas de trabalho. Admitindo poder ser empregada a distribuição de Poisson, calcular a probabilidade:de 1
Um certo departamento em uma indústria está dimensionado de forma a poder atender, no período diário normal, até 5 pedidos de serviço; se chegarem mais que 5 pedidos, o pessoal deve recorrer a horas e