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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios propostos - Ex. 4

Numa linha de produção 5% das peças saem com defeito. As peças são acondicionadas em caixas com 10 peças cada. Se uma caixa apresenta 3 ou mais peças defeituosas, os clientes devolvem a caixa inteira, como se todas as peças fossem defeituosas; se a caixa apresenta menos que 3 peças defeituosas, os clientes devolvem só as peças defeituosas para substituição. Sendo a média mensal de 100.000 caixas, pede-se:

  1. estimar o número de caixas que serão expedidas mensalmente, contendo no máximo 2 peças defeituosas;
  2. estimar o número mensal de peças devolvidas;
  3. estimar o número mensal de peças boas encontradas entre as peças devolvidas;
  4. sendo o custo médio adicional de substituição de Cr$ 2,00 por peça, qual é a incidência desse custo sobre o total da produção?

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá para mais um exercício!

Seja p a probabilidade de ocorrer um sucesso, portanto ( 1 - p ) a probabilidade de ocorrer um insucesso, em cada prova. Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucessos é:

P x = C n ,       x ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Onde:

C n ,       x = n ! x ! n - x !

Então nossa equação irá ficar:

P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Do enunciado temos os seguintes dados:

  • p = 0,05
  • q = 1 - 0,05 = 0,95
  • n = 1 0

Para o item a) iremos estimar o número de caixas para um máximo de 2 peças defeituosas, então queremos descobrir P ( x ≤ 2 ) . A probabilidade de não encontrar peça defeituosa é:

P 0 = 10 ! 0 ! 10 ! ∙ 0,05 0 ∙ 0,95 10 = 0,599

A probabilidade de encontrarmos apenas 1 peça defeituosa:

P 1 = 10 ! 1 ! 9 ! ∙ 0,05 1 ∙ 0,95 9 = 0 , 315

E a probabilidade de encontrarmos 2 peças defeituosas:

P 2 = 10 ! 2 ! 8 ! ∙ 0,05 2 ∙ 0,95 8 = 0 , 075

Portanto a probabilidade de encontrarmos no máximo 2 peças defeituosas é:

P x ≤ 2 = P 0 + P 1 + P 2 = 0,989

Pelo enunciado sabemos que a venda média mensal é de 100.000 caixas, então o número estimado de caixas contendo no máximo 2 peças defeituosas será:

100000 ∙ 0,989 = 98900   c a i x a s

Passo 2

No item b) queremos estimar o número mensal de peças devolvidas. Como visto no enunciado, quando a caixa tem menos que 3 peças defeituosas, os clientes devolvem apenas essas peças para substituição. Como visto no Passo 1:

  • P 1 = 0,315 ;
  • P 2 = 0,075 .

Se as caixas tiverem uma peça defeituosa:

100000 ∙ 0 , 315 ∙ 10 10 = 31500   p e ç a s

Para 2 peças defeituosas:

100000 ∙ 0 , 075 ∙ 10 ∙ 2 10 = 15000   p e ç a s

Agora se a caixa apresenta 3 ou mais peças defeituosas, os clientes devolvem a caixa inteira:

P 3 = 10 ! 3 ! 7 ! ∙ 0,05 3 ∙ 0,95 7 = 1 ∙ 10 - 2

P 4 = 10 ! 4 ! 6 ! ∙ 0,05 4 ∙ 0,95 6 = 1 ∙ 10 - 3

P 5 = 10 ! 5 ! 5 ! ∙ 0,05 5 ∙ 0,95 5 = 6 ∙ 10 - 5

P 6 = 10 ! 6 ! 4 ! ∙ 0,05 6 ∙ 0,95 4 = 3 ∙ 10 - 6

P 7 = 10 ! 7 ! 3 ! ∙ 0,05 7 ∙ 0,95 3 = 8 ∙ 10 - 8

P 8 = 10 ! 8 ! 2 ! ∙ 0,05 8 ∙ 0,95 2 = 2 ∙ 10 - 9

P 9 = 10 ! 9 ! 1 ! ∙ 0,05 9 ∙ 0,95 1 = 2 ∙ 10 - 11

P 10 = 10 ! 10 ! 1 ! ∙ 0,05 10 ∙ 0,95 1 = 1 ∙ 10 - 1 3

Então temos:

P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1,1 ∙ 10 - 2

1,1 ∙ 10 - 2 ∙ 100000 ∙ 10 = 11000   p e ç a s

O número mensal de peças devolvidas é:

31500 + 15000 + 11 0 00 = 575 00   p e ç a s

Passo 3

No item c) queremos saber o número mensal de peças boas encontradas entre as peças devolvidas. Como já sabemos que as caixas com 3 ou mais peças defeituosas é devolvida a caixa inteira, então para caixas com 3 a 10 peças defeituosas, usando a seguinte equação:

100000 ∙ P ( x ) ∙ 10 ∙ x 10

11000 - 3432 = 7568   p e ç a s

Passo 4

d) o custo total sobre o total da produção, será:

57500 ∙ 2 100000 ∙ 10 = C r $   0,11

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

  1. 98900   c a i x a s ;
  2. 57500   p e ç a s ;
  3. 7568   p e ç a s ;
  4. C r $   0,11 .

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