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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios propostos - Ex. 22

Para cada 5.000 km rodados em automóvel tem-se em média 1 pneumático furado (ao transitar em estrada pavimentada) e em média 2 pneumáticos furados (ao transitar em estrada não pavimentada). Supondo que não exista borracheiro, qual a probabilidade de um carro:

  1. ficar retido num percurso de 10.000 km de estrada pavimentada, sabendo que partiu com 2 pneumáticos de reserva;
  2. não ficar retido num percurso de 700 km de estrada pavimentada mais 200 km de estrada não pavimentada, sabendo que partiu com 1 pneumático de reserva.

Passo 1

Olá pessoal. Vem comigo!

Relembrando que a Distribuição de Poisson é aplicável quando o número de possíveis ocorrências discretas é muito maior que o número médio de ocorrências em um determinado intervalo de tempo ou espaço. A expressão de P x para distribuição de Poisson:

P x = λ x x ! ∙ e - λ

Onde:

  • λ média de eventos em um intervalo de tempo, área ou volume, ou ainda a taxa média de ocorrência por unidade medida

    • Do enunciado sabemos:

    • A cada 5.000 km rodados:
      • μ = 1 estrada pavimentada
      • μ = 2 estrada não pavimentada

    Para o item a) iremos primeiramente calcular o valor de λ , para 10.000 km:

    1 → 5000     λ → 10000

    λ = 2

    Agora vamos calcular:

    P x > 2 = 1 - P ( x ≤ 2 )

  • Para nenhum pneumático:

    • P 0 = 2 0 0 ! ∙ e - 2 = 0 , 1 3 5

  • Para 1:

    • P 1 = 2 1 1 ! ∙ e - 2 = 0 , 271

  • E para 2:

    • P 2 = 2 2 2 ! ∙ e - 2 = 0,271

    Portanto a probabilidade é:

    P x ≥ 2 = 1 - P 0 + P 1 + P 2 ∙ 100 %

    P ( x ≥ 2 ) = [ 1 - 0,135 + 0,271 + 0,271 ] ∙ 100 %

    P ( x ≥ 2 ) = 32,3 %

    Passo 2

    No item b) iremos calcular a média para 700 km de estrada pavimentada:

    1 → 5000 λ → 700    

    λ = 0,14

    E para 200 km de estrada não pavimentada:

    2 → 5000 λ → 2 00    

    λ = 0 , 08

    Além disso, sabemos que se dois eventos quaisquer associados a um espaço amostral, e mutuamente exclusivos:

    P A ∪ B = P A + P B

    Considerando:

  • A estrada pavimentada
    • P A = 0 , 14
  • B estrada não pavimentada
    • P B = 0,0 8

Temos o seguinte:

P A ∪ B = 0 , 14 + 0,0 8 = 0,22

λ = 0,22

Então para nenhum e para 1 pneumático:

P 0 = 0,22 0 0 ! ∙ e - 0,22 = 0 , 8 0 25

P 1 = 0,22 1 1 ! ∙ e - 0,22 = 0 , 1766

A probabilidade de não ficar retido:

P = P 0 + P 1 ∙ 100 % = 0 , 8 0 25 + 0,1 766 ∙ 100 %

P = 97 , 9 %

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

  1. P ( x ≥ 2 ) = 32,3 % ;
  2. P = 97,9 % .

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