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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios propostos - Ex. 19

Um certo departamento em uma indústria está dimensionado de forma a poder atender, no período diário normal, até 5 pedidos de serviço; se chegarem mais que 5 pedidos, o pessoal deve recorrer a horas extras para cumprir o atendimento. Sabendo-se que o número de pedidos que chegam diariamente distribui-se segundo Poisson de média 4,2 pedidos, calcular:

  1. a probabilidade de se ter que fazer horas extras num certo dia;
  2. sendo o custo diário de horas extras de Cr$ 450,00, qual será o custo médio semanal devido às mesmas? Considerar semana com 6 dias;
  3. a probabilidade de se ter que fazer horas extras em mais que 4 dias de uma semana (6 dias);
  4. qual deveria ser o novo dimensionamento do departamento, de forma a poder atender no mínimo a 95% dos pedidos que chegam no dia.

Passo 1

Olá pessoal. Vem comigo!

Seja p a probabilidade de ocorrer um sucesso, portanto ( 1 - p ) a probabilidade de ocorrer um insucesso, em cada prova. Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucessos é:

P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Relembrando que a Distribuição de Poisson é aplicável quando o número de possíveis ocorrências discretas é muito maior que o número médio de ocorrências em um determinado intervalo de tempo ou espaço. A expressão de P x para distribuição de Poisson:

P x = μ x x ! ∙ e - μ

Do enunciado sabemos:

μ = 4,2   p e d i d o s

Para o item a) queremos descobrir a probabilidade de ter que fazer horas extras num certo dia, ou seja, queremos descobrir a probabilidade de chegarem mais que 5 pedidos ( P > 5 ), para isso iremos calcular:

  • Se não tiver pedidos:

    • P 0 = μ x x ! ∙ e - μ = 4 , 2 0 0 ! ∙ e - 4 , 2 = 0 , 015

  • Se chegar 1 pedido:

    • P 1 = 4,2 1 1 ! ∙ e - 4,2 = 0 , 063

  • 2 pedidos:

    • P 2 = 4,2 2 2 ! ∙ e - 4,2 = 0,1 32

  • 3 pedidos:

    • P 3 = 4,2 3 3 ! ∙ e - 4,2 = 0,1 8 5

  • 4 pedidos:

    • P 4 = 4,2 4 4 ! ∙ e - 4,2 = 0,1 94

  • E 5 pedidos:

    • P 5 = 4,2 5 5 ! ∙ e - 4,2 = 0,1 63

    Portanto a probabilidade de se ter que fazer horas extras num certo dia:

    P ( x > 5 ) = 1 - ( P 0 + P 1 + P 2 + P ( 3 ) + P 4 + P ( 5 ) ∙ 100 %

    P x > 5 = [ 1 - 0,015 + 0,063 + 0,132 + 0,185 + 0,194 + 0,163 ] ∙ 100 %

    P ( x > 5 ) = 2 4 , 8 %

    Passo 2

    No item b) queremos encontrar o custo médio semanal devido as horas extras, sendo que o custo diário é de Cr$ 450,00:

    E Y = n ∙ p = 45 0 ∙ 6 ∙ 0 , 248 = C r $   669 , 6 0

    Passo 3

    No item c) queremos saber a probabilidade de fazer horas extras em mais que 4 dias de uma semana. Usando o valor que encontramos no Passo 1:

    P x > 5 = 0 , 248

    Sendo assim, temos:

    • n = 6
    • x > 4
    • p = 0 , 2 4 8
    • q = 1 - 0 , 2 4 8 = 0,7 52

    P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

    Então iremos calcular as probabilidades de 5 e 6 dias:

    P 5 = 6 ! 5 ! 6 - 5 ! ∙ 0 , 2 4 8 5 ∙ 0 , 752 6 - 5 = 0 , 004

    P 6 = 6 ! 6 ! 6 - 6 ! ∙ 0,248 6 ∙ 0,752 6 - 6 = 0 , 0002

    A probabilidade de se ter que fazer horas extras em mais que 4 dias na semana é:

    P x > 4 = P 5 + P 6 ∙ 100 % = 0,004 + 0,0002 ∙ 100 %

    P x > 4 = 0,42 %

    Passo 4

    E por fim, no item d) queremos uma probabilidade de no mínimo 95%. No Passo 1 calculamos a probabilidade para até 5 pedidos:

  • P 0 = 0 , 0 15 ;
  • P 1 = 0 , 063 ;
  • P 2 = 0 , 132 ;
  • P 3 = 0,18 5 ;
  • P 4 = 0,1 94 ;
  • P 5 = 0,1 63 .

Onde a soma é:

P x ≤ 5 = 0,7 53 = 7 5 , 3 %

Mas queremos para no mínimo 95%, fazendo o cálculo para 6, 7 e 8 pedidos:

P 6 = 4 , 2 6 6 ! ∙ e - 4 , 2 = 0 , 114

P 7 = 4,2 7 7 ! ∙ e - 4,2 = 0,069

P 8 = 4,2 8 8 ! ∙ e - 4,2 = 0,036

Quando somamos ao valor 0,753:

P x ≤ 8 = 0 , 753 + 0,114 + 0,069 + 0,0 36 = 9 7 , 2 %

Então, o departamento da indústria, de forma a poder atender no mínimo 95% dos pedidos que chegam no dia, tem que atender até 8 pedidos por dia.

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

  1. P ( x > 5 ) = 24,8 % ;
  2. C r $   669,60 ;
  3. P x > 4 = 0,42 % ;
  4. Atender até 8 pedidos por dia.

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