Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 1

Um posto de gasolina tem ilhas de auto-serviço e de serviço completo. Em cada ilha, há uma única bomba de auto-serviço de gasolina comum com duas mangueiras. Sejam X número de mangueiras em uso na ilha de auto-serviço em um momento específico e Y número de mangueiras na ilha de serviço completo em uso naquele mesmo momento. A fmp de X e Y é

mostrada na tabela a seguir:

a. Qual é P ( X = 1 e Y ≤ 1 )?

b. Calcule P ( X ≤ 1 e Y ≤ 1 ).

c. Descreva o evento { X ≠ 0   e   Y ≠ 0 } e calcule sua probabilidade.

d. Calcule a fmp marginal de X e de Y . Usando p X ( x ) , qual é P ( X ≤ 1 )?

e. X e Y são vas independentes? Explique.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? A função de massa de probabilidade conjunta nos diz que:

p x ,   y = P ( X = x ,   Y = y )

Quer dizer, então, que para definirmos P ( X = x ,   Y = y ) basta procurarmos na tabela o valor da função p ( x ,   y ) para o y e x específico.

Mais um conceito que iremos usar é o da função marginal, que usa as seguintes funções.

p X x = ∑ y p x ,   y

p Y ( y ) = ∑ x p ( x ,   y )

Bora para a resolução!!!

Passo 2

Como nós podemos ver na definição do Passo 1, a equação abaixo é verdadeira.

P X = 1   e   Y = 1 = p 1 ,   1 = 0,2

Onde, nós podemos observar esse valor na Tabela que o enunciado forneceu.

Passo 3

Seguindo a mesma lógica:

P X ≤ 1   e   Y ≤ 1 = p 0 ,   0 + p 0 ,   1 + p 1 ,   0 + p ( 1 ,   1 )

= 0,1 + 0,04 + 0,08 + 0,2

= 0,42

O evento abaixo:

P X ≤ 1   e   Y ≤ 1

Pode ser escrito como a união de 4 eventos diferentes.

X = 0 ,   Y = 0 , X = 0 ,   Y = 1 , X = 1 ,   Y = 0 , X = 1 ,   Y = 1 .

Passo 4

Como nenhuma das variáveis é igual a zero, para o nosso exemplo, quer dizer que pelo menos uma das mangueiras é usada em ambas as ilhas.

E a probabilidade do evento dado é:

P X ≠ 0   e   Y ≠ 0 = p 1 ,   1 + p 1 ,   2 + p 2 ,   1 + p ( 2 ,   2 )

= 0,2 + 0,06 + 0,14 + 0,3

= 0,7

Passo 5

Para cada x ∈ 0 ,   1 ,   2 a probabilidade marginal é dada pela soma de uma linha específica.

p X 0 = 0,1 + 0,04 + 0,02 = 0,16

p X 1 = 0,08 + 0,2 + 0,06 = 0,34

p X 2 = 0,06 + 0,14 + 0,3 = 0,16

Para Y , a probabilidade marginal será a soma de uma coluna específica.

p Y 0 = 0,1 + 0,08 + 0,06 = 0,16

p Y 1 = 0,04 + 0,2 + 0,14 = 0,34

p Y 2 = 0,02 + 0,06 + 0,3 = 0,38

Agora, vamos calcular a P ( X ≤ 1 ) usando o pmf de X .

P X ≤ 1 = p X 0 + p X 1 = 0,16 + 0,34 = 0,5

Passo 6

Lembrando que para definirmos as variáveis são independentes, a igualdade a seguir tem que ser respeitada p x ,   y = p X x . p Y ( y ) .

p X 2 . p Y 2 = 0,5.0,38 = 0,19

p 2 ,   2 = 0,3

Então, como a igualdade não se verifica, as variáveis são dependentes.

Resposta

  1. P X = 1   e   Y = 1 = p 1 ,   1 = 0,2 .

  2. P X ≤ 1   e   Y ≤ 1 = 0,42 .

  3. P X ≠ 0   e   Y ≠ 0 = 0,7 .

  4. Solução no Passo 5.

  5. Dependentes.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o valor de ser Equi tornar função uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa. Determine o seguinte:
Determine o valor de ser, tal que a função satisfaça as propriedades de uma função densidade probabilidade conjunta. Determine o seguinte: g) distribuição de probabilidade marginais da variável aleató
Suponha que X tenha fdp dada por f x = 2 x ,0 ≤ x ≤ 1 . Determine a fgm de M e calcule E(X) e V(X)
Se X tiver distribuição de X_n ² ², mostre que E (X) = n e V (X) = 2 n
Determine a fgm da tensão (incluindo o ruído) tal como apresentada no Probl. 7.25 e obtenha o valor esperado e a variância dessa tensão.