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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 19

Determine o valor de ser Equi tornar função uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa.

Determine o seguinte:

Passo 1

Temos o seguintes dados:

f ( x , y ) = c ( x + y )

0 < x < 3

0 < y < x

Primeiro, precisamos determinar c:

∫ 0 3 ∫ 0 x f ( x , y ) d y d x =

= ∫ 0 3 ∫ 0 x c ( x + y ) d y d x =

= ∫ 0 3 ( c ( x y + y 2 2 ) ) x 0 d x =

= ∫ 0 3 3 c x 2 2 d x =

= ( c x 3 2 ) 3 0 = 27 2 c

A integral sobre todos os valores possíveis de x e y deve ser igual a 1:

27 2 c = 1

Resolvendo para c:

c = 2 27

A função de densidade de probabilidade conjunta então se torna:

f ( x , y ) = 2 27 ( x + y )

Passo 2

Letra a:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( X < 1 ,   Y < 2 ) = ∫ 0 1 ∫ 0 x f ( x , y ) d y d x =

= ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 27 ( x + y ) d y d x =

= ∫ 0 3 ( 2 27 ( x y + y 2 2 ) x 0 d y =

= ∫ 0 1 x 2 9 d x =

= x 3 27 1 0 =

= 1 27 =

= 0.0370

Passo 3

Letra b:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( 1 < X < 2 ) = P ( 1 < X < 2,0 < Y < x ) = ∫ 1 2 ∫ 0 x f ( x , y ) d x d y = ∫ 1 2 ∫ 0 x 2 27 ( x + y ) d y d x =

= ∫ 1 2 ( 2 27 ( x y + y 2 2 ) ) x 0 d x =

= ∫ 1 2 x 2 9 d x =

= 7 27 =

= 0.2593

Passo 4

Letra c:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( Y > 1 ) =

= P ( 0 < X < 3,1 < Y < x ) =

= P ( 1 < X < 3,1 < Y < x ) =

= ∫ 1 3 ∫ 1 x 2 27 ( x + y ) d y d x =

= 16 27 =

= 0.5926

Passo 5

Letra d:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( X < 2 , Y < 2 ) = ∫ 0 2 ∫ 0 x f ( x , y ) d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 x 2 27 ( x + y ) d y d x = 8 27 = 0.2963

Passo 6

Letra e:

O valor esperado μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) :

E ( X ) = ∫ 0 3 ∫ 0 x 2 27 x ( x + y ) d y d x =

= 9 4 =

= 2.25

Passo 7

Letra f:

O valor esperado μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) . Determine o resultado esperado para. X 2 :

E ( X 2 ) = ∫ 0 3 ∫ 0 x 2 27 x 2 ( x + y ) d y d x = 27 5 = 5.4

A variância é o valor esperado de X 2 diminuído pelo quadrado do valor esperado de X:

V ( X ) = E ( X 2 ) - E ( X ) 2 = 0.3375

Passo 8

Letra g:

A distribuição marginal de X é f integrada sobre todos os valores possíveis de Y:

f X ( x ) = ∫ 0 x 2 27 ( x + y ) d y = ( 2 27 ( x y + y 2 2 ) ) x 0 = x 2 9

Passo 9

Letra h:

A distribuição condicional é a distribuição de probabilidade conjunta dividida pela distribuição marginal:

f Y | x = 1 ( y ) = f X Y ( 1 , y ) f X ( 1 ) = 2 y + 2 3

Passo 10

Letra i:

O valor esperado μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) .

E ( Y | X = 1 ) =

= ∫ 0 1 y f Y | x = 1 ( y ) d y =

= ∫ 0 1 y 2 y + 2 3 d y =

= 5 9 =

= 0.5556

Passo 11

Letra j:

A probabilidade da condição é zero, porque y está entre 0 e 1 quando x = 1 .

P ( Y > 2 | X = 1 ) = 0

Passo 12

Letra k:

A distribuição marginal de Y é f integrada sobre todos os valores possíveis de X:

f Y ( y ) = ∫ 0 3 2 27 ( x + y ) d x = 2 y + 3 9

A distribuição condicional é a distribuição de probabilidade conjunta dividida pela distribuição marginal:

f X | y = 2 ( x ) = f X Y ( x , 2 ) f Y ( 2 ) = 2 x + 4 21

Resposta

  1. 0.0370
  2. 0.2593
  3. 0.5926
  4. 0.1667
  5. 2.25
  6. 0.3375
  7. f X ( x ) = x 2 9
  8. f Y | x = 1 ( y ) = 2 y + 2 3
  9. 0.5556
  10. 0
  11. f X | y = 2 ( x ) = 2 x + 4 21
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