Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 17
Determine o valor de ser, tal que a função satisfaça as propriedades de uma função densidade probabilidade conjunta. Determine o seguinte:
g) distribuição de probabilidade marginais da variável aleatória X
h) distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado que
k) distribuição de probabilidades condicionais, dado que
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Passo 1
Temos a função de densidade de probabilidade a seguir:
A função de densidade de probabilidade , da variável aleatória contínua X satisfaz o seguinte:
Usando isso, para a variável aleatória bidimensional , podemos encontrar a constante c:
em qualquer outro lugar a função . Então, a partir disso, temos:
Temos a função de densidade de probabilidade:
Antes de continuarmos, para qualquer conjunto A, podemos calcular como:
para qualquer variável aleatória contínua X.
Passo 2
Letra a:
Usando , obtemos:
E agora,
Passo 3
Letra b:
O evento que é quase certo, então podemos fazer a interseção com ele.
Passo 4
Letra c:
Passo 5
Letra d:
Passo 6
Letra e:
Uma vez que a variável aleatória que nos é dada é contínua, porque temos a função de densidade conjunta que é uma função contínua, calculamos a expectativa como:
Nós vamos calcular a função de densidade marginal como:
Em combinação com os dois acima, temos:
Passo 7
Letra f:
Aqui temos que prestar atenção, o evento tem a mesma probabilidade que e o evento é um conjunto vazio, e o conjunto vazio que tem interseção com qualquer outro conjunto é um conjunto vazio, então temos . Nós também podemos observar que a integral vai de 0 a 0, que é 0.
Passo 8
Letra g:
Pela definição que demos acima, podemos calcular a distribuição de densidade marginal como para :
e para e a probabilidade é 0, porque . Portanto, temos a função de densidade marginal :
Passo 9
Letra h:
Para duas variáveis aleatórias X e Y, a distribuição de probabilidade condicional , pode ser calculado como:
Usando isso nós temos para
para todas os outros y, a probabilidade y é 0.
Passo 10
Letra i:
Já demos a definição de expectativa (veja acima), então:
Passo 11
Letra j:
Nós temos apenas a distribuição de probabilidade condicional (você pode olhar para isso como a variável aleatória Z), então, nós realmente precisamos de:
Passo 12
Letra k:
A distribuição de probabilidade condicional de X dado que Y = 2, para é:
para todos os outros é 0. Aqui usamos que para e 0 caso contrário (isso pode ser calculado da mesma forma que , veja acima como).
Resposta
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