Enunciado
Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 62
O problema do aniversário. Considere pessoas numa sala. Qual a probabilidade de que pelo menos duas pessoas façam aniversário no mesmo dia e mês? A partir de qual valor de essa probabilidade é maior que ?
(Sugestão: seja
O evento complementar é: “todas as pessoas fazem aniversário em dias diferentes”.
Calcule primeiro aPara isso, use o resultado do Problema . Aqui, temos
dias e pessoas. Se , então mostre que
Note que há fatores no numerador e no denominador dessa expressão.)
Passo 1
A probabilidade de que duas pessoas aniversariem em datas distintas é de , considerando que há datas disponíveis para que a segunda pessoa faça aniversário, desconsiderando a data de aniversário da primeira.
Com raciocínio análogo, é fácil verificar que a probabilidade de uma terceira pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que nenhuma das outras duas pessoas é de , e assim por diante. Daí, temos que a probabilidade de que ocorram todos estes eventos, ou seja, que nenhuma data coincida, é o produto dessas probabilidades. Assim, em um conjunto com k pessoas, teríamos:
Com uma boa calculadora em mãos, podemos calcular qual seria esta probabilidade para alguns valores de . Para , por exemplo, a probabilidade é de .
Resposta
Assim, concluímos os resultados.