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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 32

A proporção do orçamento de certo tipo de indústria, que é alocado para controle ambiental e de poluição, é determinada após uma análise cuidadosa. Um projeto de coleta de dados determina que a distribuição dessa proporção seja dada por

f x = 5 1 - y 4 ,                                         0 ≤ y ≤ 1 0 ,                                                       c a s o   c o n t r á r i o

(a) Verifique que essa densidade é válida.

(b) Qual é a probabilidade de que uma empresa escolhida aleatoriamente gaste menos de 10% de seu orçamento nos controles ambientais e de poluição?

(c) Qual é a probabilidade de que uma empresa selecionada aleatoriamente gaste mais de 50% nos controles ambientais e de poluição?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para que a função de densidade seja válida, ela deve respeitar a seguinte relação:

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Usando a definição do Passo 1 para verificar a validade da função:

∫ - ∞ ∞ f x d x = 1

= ∫ 0 1 5 1 - y 4 d y

= - 1 - y 5 0 1

= - 0 5 + 1 5

1 = 1

Logo, a função de densidade é válida.

Passo 3

Vamos usar Y para representar a variável aleatória que indica a proporção de um orçamento que é gasto em controles ambientais e de poluição.

Nós precisamos encontrar P ( Y < 0,1 )

P Y < 1 = ∫ - ∞ 0,1 f y d y

= ∫ 0 0,1 5 1 - y 4 d y

= - 1 - y 5 0 0,1

= - 0,9 5 + 1 5

P Y < 0 , 1 = 0 , 40951

Passo 4

Por fim, nós precisamos encontrar P ( Y > 0,5 )

Usando a definição de complemento.

P Y > 0,5 = 1 - P ( Y ≤ 0,5 )

= 1 - ∫ - ∞ 0,5 f y d y

= 1 - ∫ 0 0,5 5 1 - y 4 d y

= 1 - - 1 - y 5 0 0,5

= 1 - - 0 , 5 5 + 1 5

P Y > 0,5 = 0 , 03125

Resposta

(a) A função é válida.

(b) 0 , 40951

(c) 0,03125

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