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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 45

Considere que X denota o diâmetro de um cabo elétrico blindado e K, o diâmetro do molde cerâmico para a fabricação do cabo. Tanto X quanto Y estão padronizadas para que a amplitude de ambas esteja entre 0 e 1. Suponha que X e Y tenham densidade conjunta

f x , y = 1 y ,                           0 < x < y < 1 0 ,                         c a s o   c o n t r á r i o

Determine P ( X + Y > 1 / 2 ) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Vamos reescrever a expressão cuja probabilidade procuramos antes da integração da função densidade

P X + Y > 1 2 = P X > 1 2 - Y

= ∫ 0 1 ∫ 1 2 - y y f ( x ,   y ) d x d y

= ∫ 0 1 / 4 ∫ 1 2 - y y f ( x ,   y ) d x d y + ∫ 1 / 4 1 / 2 ∫ 1 2 - y y f ( x ,   y ) d x d y + ∫ 1 / 2 1 ∫ 1 2 - y y f ( x ,   y ) d x d y

Para o intervalo 0 ≤ y ≤ 1 / 4 nós temos 1 / 2 - y ≥ y , então a primeira integral é igual a 0 .

A função de densidade conjunta é 0 sempre que x ≥ y , portanto, a integral é 0 .

Sobre a terceira integral, para 1 2 ≤ y ≤ 1 nós temos 1 2 - y ≤ 0 . Com sabemos que a função de densidade conjunta é 0 sempre que x ≤ 0 , podemos concluir que:

∫ 1 / 2 1 ∫ 1 2 - y y f ( x ,   y ) d x d y = ∫ 1 / 2 1 ∫ 0 y f ( x ,   y ) d x d y

Então, bora finalizar a questão!!!

Passo 2

Por fim, podemos encontrar a probabilidade:

P X + Y > 1 2 = ∫ 1 / 4 1 / 2 ∫ 1 2 - y y f ( x ,   y ) d x d y + ∫ 1 / 2 1 ∫ 0 y f ( x ,   y ) d x d y

= ∫ 1 / 2 1 ∫ 1 2 - y y 1 y d x d y + ∫ 1 / 2 1 ∫ 0 y 1 y d x d y

= ∫ 1 / 4 1 / 2 1 - 1 2 y - 1 d y + ∫ 1 / 2 1 ( 1 - 0 ) d y

= 1 - 1 2 ln ⁡ 1 2 - 1 2 + 1 2 ln ⁡ 1 4 + 1 - 1 2

= 1 - 1 2 - ln ⁡ 2 + 1 2 - 2 ln ⁡ 2

P X + Y > 1 2 = 1 - ln ⁡ 2 2

Resposta

1 - ln ⁡ 2 2

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