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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 6º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 33

Prove que C o v ( overset(-)( Y) , hat beta ) = 0 .

Passo 1

Inicialmente vamos provar que, se X e Y são independentes, U = a X + b Y e V = m X + n Y , então:

C o v ( U , V ) = a m V a r ( X ) + b n V a r ( Y ) .

Sabemos que C o v ( U , V ) = E ( U V ) – E ( U ) * E ( V ),

E ( U ) = a E ( X ) + b E ( Y ) ,

E ( V ) = m E ( X ) + n E ( Y ) ,

E ( U V ) = E [ ( a X + b Y ) ( m X + n Y ) ]

= a m E ( X^2 ) + a n E ( X Y ) + b m E ( X Y ) + b n E ( Y^2 ) .

Substituindo na expressão da covariância, teremos:

C o v ( U , V ) = a m E ( X^2 ) + b n E ( Y^2 ) + ( a n + b m ) E ( X Y )

– [ a m E^2 ( X ) + b n E^2 ( Y ) + ( a n + b m ) E ( X ) E ( Y ) ]

= a m [ E ( X 2 ) – E 2 ( X ) ] + b n [ ( E ( Y 2 ) – E 2 ( Y ) ]

+ ( a n + b m ) [ E ( X Y ) – E ( X ) E ( Y ) ]

= a m V a r ( X ) + b n V a r ( Y ) ,

E o último termo desaparece, pois as variáveis são independentes. A expressão pode ser generalizada quando X_1 , X_2 , . . , X_n são independentes, com

U = a 1 X 1 + a 2 X 2 + . . . + a n X n = _ a i X i ,

V = b 1 X 1 + b 2 X 2 + . . . + b n X n = _ b i X i ;

Então , C o v ( U , V ) = sum a_i b_i V a r ( X_i ).

Quando V a r ( X_i ) = sigma^2 , temos:

C o v ( U , V ) = sigma^2 sum a_i b_i .

Passo 2

C o v ( overset(-)(Y) , hat beta ) = 0 .

Sabemos que:

overset(-)(Y) = (1)/(n) sum Y_i = sum (1)/(n) Y_i = sum a_i Y_i ,

Com a_i = (1)/(n) ,

hat beta = sum w_i Y_i ,

Com w_i = (x_i - x)/(sum (x_i - x)^2) ,

Então:

C o v (overset(-)(y) , hat beta) = C o v (sum a_i Y_i , sum w_i Y_i) = sum a_i w_i V a r (Y_i)

= sigma_e^2 sum a_i w_i = 0 ,

Pois sum a_i w_i = ((1)/(n)) sum w_i = 0 , o que demonstra a propriedade.

Resposta

Assim, concluímos a demonstração.

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